Calcul dans ℝ 2nd L

I. CALCULS SUR LES QUOTIENTS :

     1. Règles de calcul :

          a. Quotient de deux réels :

Soit $a$ un réel et $b$ un réel non nul $(b ≠ 0) ; \dfrac{a}{b}$ est appelé quotient de $a$ par $b$ (ou fraction).
Remarque : $\dfrac{a}{b}= a \times\dfrac{1}{b}$

          b. Propriétés :

Soit $a , c$ et $e$ des réels quelconques et $b , d$ et $f$ des réels non nuls $(b ≠ 0 , d ≠ 0 , f ≠ 0)$ :

• $ a =\dfrac{a}{1};\dfrac{b}{b}= 1$  ;  $\dfrac{0}{b}= 0$ ; $\dfrac{1}{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{b}{a}$(pour $a ≠ 0$).
• $\dfrac{-a}{b}= −\dfrac{a}{b}$ ; $\dfrac{a}{-b}= −\dfrac{a}{b}$.
• $\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\times c}{b\times d}$; $\dfrac{a}{b}\times c =\dfrac{a\times c}{b}$; $e\times \dfrac{a}{b}=\dfrac{e \times a}{b}$.
• $\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}=\dfrac{a\times d}{b\times c}$ ; $\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}}=\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}=\dfrac{a\times d}{b\times c}$(pour $c ≠ 0$)
• $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b}$ ; $\dfrac{a}{b}+\dfrac{e}{d}=\dfrac{a+e}{d}$.
•  $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{a×d+b×c}{b×d}$ ; $\dfrac{a}{b}+ c =\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{1}=\dfrac{a\times1+b×c}{b×1}$ ; $e+\dfrac{c}{d}=\dfrac{e}{1}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{e×d+1×c}{1×d}$.
• $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{e}{f}=\dfrac{a×d×f+c×b×f+e×b×d}{b×d×f}$.
• $\dfrac{ab}{bb}=\dfrac{a}{b}$.

*Nullité d’un quotient :
$\dfrac{a}{b}= 0$ équivaut à $a = 0$ et $b ≠ 0$.

• Egalité de deux quotients :

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$

équivaut à $a × d = b × c$.

          c. Application :(un exercice de la série d’exercices)

Exprimer sous forme de quotient(ou fraction) irréductible :
Résolution :

     2) Identités remarquables :

          a) Rappels :

Quelques soient les réels $a$ et $b (a ∈ \mathbb{R} ; b ∈ \mathbb{R})$, on a :

• $(a + b)^{2} = (a)^{2} + 2(a)(b) + (b)^{2}$;
• $ (a − b)^{2} = (a)^{2} − 2(a)(b) + (b)^{2}$
•  $(a − b)(a + b) = (a + b)(a − b) = (a)^{2} − (b)^{2}$

Exemples :

          b. Autres identités remarquables :

Quelques soient les réels $a$ et $b ((a ∈ \mathbb{R} ; b ∈ \mathbb{R})$, on a :
- la forme développée de $(a + b)^{3}$ et de $(a − b)^{3}$
* $(a + b)^{3} = (a)^{3} + 3(a)^{2}(b) + 3(a)(b)^{2} + (b)^{3}$;
*$(a − b)^{3} = (a)^{3} − 3(a)^{2}(b) + 3(a)[(b)^{2} + (b)^{3}]$;

II. PUISSANCE D’UN REEL:

     1. Définition :

Quel que soit le réel non nul $a (a ≠ 0)$ et quel que soit l’entier relatif $m (m ∈ ℤ).$
On note $a^{m}$ et on lit « $a$ puissance $m$ ou$a$ exposant $m$ ».
Si $m ≥ 2$ , alors $a^{m} = a × a × a × … … .× a$ : on a $m$ facteurs de $A$.
Exemples :
*$7^{4} = 7 × 7 × 7 × 7 ; * (−2)^{3} = (−2)(−2)(−2) ; (x − 3)^{2} = (x − 3)(x − 3)$.
Remarques :

• Si $m = 1$, alors $a^{m} = a^{1} = a$. Exemples :
• si $m = 0$, alors $a^{m} = a^{0} = 1$. Exemples :
• Si $m < −1$, alors $a^{m} =\dfrac{1}{a^{−m}}$. Exemples :
• Si $m ≥ 1$, alors $0^{m} = 0$. Exemples
• Si $m = 0$, alors $0^{0}$ n’existe pas.
• Si $m < −1$, alors $0^{m}$ n’existe pas. Exemples : $0^{−3}; 0^{−5}; 0^{−10}$ n’existent pas.

     2. Propriétés :

Quelques soient les réels non nuls $a$ et $b (a ≠ 0 ; b ≠ 0)$ et quelques soient les entiers relatifs non nuls $m$ et $n (m ≠ 0 ; n ≠ 0)$, on a :
*$ a^{m} × a^{n} = a^{m+n}$; *$ (a × b)^{n} = a^{n} × b^{n}$; *$(a^{m})^{n} = a^{m×n};
*\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m−n}$; * $(\dfrac{a}{b})^{n} =\dfrac{a^{n}}{b^{n}}$
; *$ \dfrac{1}{a^{n}} =a^{−n}$.

III. CALCULS SUR LES RADICAUX:

     1. Définition :

Soit $a$ un réel positif ou nul $(a ≥ 0)$.
On appelle racine carrée de$a$, notée $\sqrt{a}$ ; le réel positif ou nul dont le carré est égale à $a : (\sqrt{a})^{2} = a$.
Exemples :

• $(\sqrt{7})^{2} = 7 ;(\sqrt{15})^{2} = 15$

Attention !! On n’écrit pas la racine carrée d’un nombre négatif : Par exemples

• $\sqrt{−3}$ n’existe pas ; $\sqrt{−16}$ n’existe pas.

     2. Propriétés :

Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs $(a > 0 ; b > 0)$ et soit $n$ un entier naturel, on a :

• $\sqrt{a} × b = \sqrt{a} × \sqrt{b} ; * (\sqrt{a})^{2} = a ; * \sqrt{a}^{2}= |a| ; *\sqrt{a}^{n} = (\sqrt{a})^{n}$
• $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
• Pour $a , b , c$ et $d$ des réels tels que $a$ et $b$ soient positifs ou nuls $(a ≥ 0 ; b ≥ 0)$, on a :

$d\sqrt{a} + c\sqrt{a} = (d + c)\sqrt{a} ; d\sqrt{a} + c\sqrt{b}c$ et écriture est inchangeable ;
$(c\sqrt{a})^{2} = (c)^{2} × (\sqrt{a})^{2}$.

• $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ est l’expression conjuguée de $(\sqrt{a} − \sqrt{b})$ ;

$(c − \sqrt{b})$ est l’expression conjuguée de $(c + \sqrt{b})$.
Remarque :
$\sqrt{a} + b ≠ \sqrt{a} + \sqrt{b}$ en général
Par exemple :$$\left\{\begin{array}{ll}
\sqrt{9 + 16} &=& \sqrt{25} = 5\\
\sqrt{9} + \sqrt{16} &=& 3 + 4 = 7
        \end{array}\right.$$

IV. INTERVALLES DANS $\mathbb{R}$ :

    1. Définition :

    L’ensemble des abscisses des points d’une droite graduée est appelé ensemble des nombres réels, que l’on note $\mathbb{R}$ :

    2. Présentation des différents types d’intervalles :

    Soient $a , b$ et $x$ des réels tels que $a < b$.

•  Intervalles bornés :

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
Intervalles& Encadrements& \text{Représentations sur une droite graduée} \\
\hline
x ∈ [a; b] &a ≤ x ≤ b &[ ab]\\
\hline
x ∈ [a; b[ &a ≤ x < b& [ab[\\
\hline
x ∈ ]a; b] &a < x ≤ b& ] ab]\\
\hline
x ∈ ]a; b[ &a < x < b& ]ab[\\
\hline
\end{array}$$
Exemples :
* Intervalles non bornés :
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
Intervalles& Encadrements &\text{Représentations sur une droite graduée}\\
\hline
x ∈ [a; +∞[ &x ≥ a& [a + ∞[\\
\hline
x ∈ ]a; +∞[ &x > a &]a − ∞[\\
\hline
x ∈ ]−∞; b] &x≤ b& ]−∞b]\\
\hline
\end{array}$$

Les intervalles$ [a;b[$ et $]a;b]$ sont appelés intervalles semi-ouverts.L'intervalle $]a;b[$ est appelé intervalle ouvert.

$+∞$ et $−∞$ ne sont pas de nombres : ce sont des symboles. Du côté de ces deux symboles, qui se lisent "plus l'infini" et "moins l'infini", le crochet de l'intervalle est toujours ouvert.

L'ensemble des nombres réels se note également $]−∞;+∞[$

Remarques :
Soit $a$ un réel.

•  $[a; a] = {a}$ on lit “ singleton $a$” est un intervalle. Exemples: $[8; 8] = {8}$ et $[−3; −3] ={−3}$
•  $[a; a[ = ]a; a] = ∅$. Exemples : $[21; 21[ = ∅ et ]−7; −7] = ∅$

    3. Intersection et réunion de deux intervalles :

         a. Intersection de deux intervalles :

Définition : L’intersection de deux intervalles $I$ et  $J$, est l’ensemble des réels appartenant à $I$ et à $J$.
On la note $I ∩ J$ et on lit « $I$ inter$ J$ ».

      b. Réunion de deux intervalles :

Définition : La réunion de deux intervalles $I$ et  $J$, est l’ensemble des réels appartenant à $I$ ou bien à $J$.
On la note$ I ∪ J $ et on lit « $I$ union $J$ ».