COMPOSITION DU 1er SEMESTRE : EPREUVE DE MATHEMATIQUES

Exercice 1 :

Pour chaque question, trois réponses sont données A) , B) et C) dont une seule est juste .Ecrire le numéro suivi de la lettre de la réponse juste .

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Numéro}&\text{Questions}& \text{Réponse A}& \text{Réponse B}& \text{Réponse C}\\
\hline
1& L’inéquation |ax + b| < c&S = ]−c; c[ &S = ∅& S = ]−∞; c[\\
&avec c < 0 a pour solution&&&\\
\hline
2& On donne A = ]−∞; 5] et &A ∩ B = [5; 9]& A ∩ B = ∅& A ∩ B = ]−1; 5]\\
&B = ]−1; 9]&&&\\
\hline
3&\text{L’écriture simplifiée de}&2\sqrt{2} − 3\sqrt{3}& 3\sqrt{3} − 2\sqrt{2}& 2\sqrt{2} + 3\sqrt{3}\\
&\sqrt{(2\sqrt{2} − 3\sqrt{3})^{2}}&&&\\
\hline
4&\text{L’écriture simplifiée de}& A = a^{4}&A = a^{6}& A = a^{2}\\
&A =\dfrac{a^{7} + a^{10}}{a^{3} + a^{6}}&&&\\
\hline
5&d(x; 5)& |x − 5|& x + 5& x − 5\\
\hline
6& \text{La forme factorisée de}&(m − n)(m^{2} +&(m + n)(m^{2}&(m + n)(m^{2}\\
&m^{3} − n^{3}&mn + n^{2})&+ mn + n^{2})&− mn + n^{2})\\
\hline
7& \text{L’écriture simplifiée de}&\vec{u}= \vec{AC}& 2\vec{BC}&\vec{u}= \vec{0}\\
&\vec{u}= \vec{AB}− \vec{AC}− \vec{CB}&&&\\
\hline
8&Soit H l\text{e barycentre}&{(E, 3); (F, 4)}& {(E, 20); (F, 15)}& {(E, 4); (F, 3)}\\
&{(E, 2024); (F, 1518)}&&&\\
&alors H\text{est aussi le}&&&\\
&barycentre&&&\\
\hline
\end{array}$$

Exercice 2

Les parties $A , B$ et $C$ sont indépendantes .

Partie A :

1) Ecrire sous forme d’une fraction irréductible $A =\dfrac{1+\dfrac{2}{3}}{1−\dfrac{1}{3}}÷\dfrac{1}{\dfrac{5}{2}−\dfrac{3}{4}}$

2) Ecrire sous la forme $a^{m}b^{n}c^{p}:A=\dfrac{(a^{3}b^{2})^{−2}xa^{2}b^{−2}c^{2}}{(a^{−1}xbc)^{3}abc}$

Partie B :

On donne $u =\dfrac{2−\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$et $v =\dfrac{2+\sqrt{3}}{2−\sqrt{3}}$

1) Calculer $u × v ; u + v ; u − v$

2) On pose $T = \sqrt{u} + \sqrt{v}$ et $S = \sqrt{u} - \sqrt{v}$

a) Montrer que $T > 0$ et $S < 0$

b) Calculer $S^{2}$ et $T^{2}$.En déduire la valeur de $S$ et celle de $T$.

3) Soit $x$ le réel défini par $x = \sqrt{3 − 2\sqrt{2}} − \sqrt{3 + 2\sqrt{2}}$

a) Déterminer le signe de $x$.

b) Calculer $x^{2}$.En déduire l’écriture simplifiée de $x$.

Partie C :

Soient $x$ et $y$ deux nombres réels tels que :

$0,20$ est une valeur approchée de $x$ par défaut à $0.05$ près et $−1 < y < −0.5$

1) Montrer que$ 0,20 < x < 0,25 $

2) Encadrer $x + y , x − y ;\dfrac{x}{y};\dfrac{x}{3−2y}$

3) Montrer que $\dfrac{9}{2}$ est une valeur approchée de $\dfrac{1}{x}$ à $.5$ près.

Exercice 3 :

Les parties $A$ et $B$ sont indépendantes.

Partie A :

Soit $ABC$ un triangle.

1) Construire les points $E$ et $F$ tels que $\vec{AE}=\dfrac{3}{4}\vec{AB} ; \vec{AF} =\dfrac{4}{3}\vec{AC}$

2) Montrer que $\vec{EC}= −\dfrac{3}{4}\vec{AB}+ \vec{AC}$ et $\vec{BF}= −\vec{AB}+\dfrac{4}{3}\vec{AC}$

3) En déduire que les droites $(EC)$ et $(BF)$ sont parallèle.

Partie B :

Soit $ABCD$ un parallélogramme et$ M, E$ et $F$ des points du plan tels que $\vec{CM}=\dfrac{1}{4}\vec{CA} ,\vec{CE} =\dfrac{1}{3}\vec{CD} et \vec{CF}=\dfrac{2}{3}\vec{CD}$

1) Construire les points $M, E$ et $F$

2) Montrer que $\vec{BM} =\dfrac{1}{4}\vec{CD}−\dfrac{3}{4}\vec{CB}$ et $\vec{BE}=\dfrac{1}{3}\vec{CD}− \vec{CB}$

3) En déduire que les points $M, E$ et $B$ sont alignés.

4) Montrer que $E$ est le milieu du segment $[CF]$

Exercice 4 :

Les élèves du Lycée de Thilogne ne traiteront pas cet exercice

Soit $ABC$ un triangle.

1) a) Placer les points $I$ et $J$ tels que $\vec{AI}=\dfrac{1}{3}\vec{AB}, \vec{BJ}=\dfrac{3}{4}\vec{BC}$

b) Ecrire $I$ comme barycentre de $A$ et $B$ et $J$ comme barycentre de $B$ et $C$ en précisant les coefficients.

2)a) Placer le point K barycentre de ${(A; −2); (C; −3)} $

b) Soit G le barycentre du système ${(A; −2); (B; −1), (C; −3)}$ .Montrer que les droites $(AI) , (CI)$ et $(BK)$ sont concourantes en $G$ .

3) Déterminer et représenter l’ensemble des points du plan tels que :

a) $‖−2\vec{MA}− 3\vec{MC}‖ = 5MB $

b) $‖−2\vec{MA}− \vec{MB}− 3\vec{MC}‖ = 5KB$

c)$ −2\vec{MA}− \vec{MB}− 3\vec{MC}$soit colinéaire à $\vec{AB}$

Exercice 5 :

Uniquement réservé aux élèves du Lycée de Thilogne
1) Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :

a) $|3x − 2| = −3x + 1$ b) $||2x − 3| + 1| = 5$ c)$ 2 ≤ |−3x + 1| ≤ 7$

2) Soient $x$ et $x$ deux réels :

a) Développer l’expression $(y − x)(y^{2} + xy + x^{2}) $

b) Démontrer que : $y^{2} + xy + x^{2}= (y +x^{2})^{2} +\dfrac{3}{4}x^{2}$

c) En déduire que pour tous réels $x$ et $y : y^{2} + xy + x^{2}> 0$

d) En déduire des questions précédentes que $x ≤ y$ alors $x^{3} ≤ y^{3}$