Composition mathématique n°2 - Ts2

Classe: 
Terminale

Exercice 1

Pour chacun des énoncés ci-dessous, trois réponses A, B et C sont proposées dont une seule, est exacte.

Donner le numéro de l'énoncé suivi de la réponse choisie. 

 
Chaque réponse exacte est notée 0.5 point. 
 
Une réponse fausse ou une absence de réponse sont notées zéro.
 
Enoncés ABC1limx⟶−∞2x3−x2+1x=0−∞22limx⟶0cosx−1x=0−∞1La suite (un)définie par 3un=√n+1−√n pour tout −∞0+∞n∈N admet pour limite Soit h la fonction définie par 4h(x)=sin+x. Le calcul de la h n'a pas delimx⟶−∞h(x)=−1limx⟶−∞h(x)=−∞limite deh en∞ permet de limite en −∞conclure que : La courbe représentative se 5la fonction :x↦√x2+x−xy=13y=12y=−13 admet en +∞une  asymoptote d'équation :L’équation de la tangente à la 6 courbe de la fonction y=3x−1y=3x+1y=5x−3f:x↦2x3−x2+1x au point d'abscisse 1 est : 

Exercice 2

On considère la suite (Un) définie par : U0=2 et ∀n∈N, Un+1=SUn−1Un+3
 
oit r la fonction définie sur I=[1 ; +∞[ par : r(x)=5x−1x+3
 
1.a. Dresser le tableau de variation de r
 
2.a. Montrer par récurrence que ∀n∈N, Un−1>0
 
b. En déduire que (Un) est minorée.
 
3.a. Montrer que pour tout x de I, r(x)+(x−1)2x+3=x
 
b. En déduire que pour tout x élément de I, r(x)≤x
 
c. Déduire de 3.b le sens de variation de (Un)
 
d. Montrer que la suite (Un) est convergente puis déterminer sa limite.
 
4. Soit (Vn) la suite telle que : ∀n∈N Vn=1Un−1
 
a. Montrer que (Vn) est une suite arithmétique de raison 14
 
b. Exprimer Vn puis Un en fonction n.
 
c. Retrouver : limn⟶+∞Un

Problème 

Partie A

Soit f la fonction définie par : f(x)={|x|+3x2+1 si <1√x2+x+2 si x≥1 (Cf) sa courbe représentative dans un plan muni d'un repère orthonormal (O,→i,→j) d'unité 2cm
 
1. Montrer que \Df, l'ensemble de définition de f est R
 
2. Pour x<1, exprimer f(x) sans le symbole de valeur absolue. 
 
3. Étudier la continuité de f en 0 puis en 1
 
4. Étudier la dérivabilité de f en 0 puis en 1. 
 
5. Étudier les limites de f aux bornes de Df
 
6.a. Montrer que pour tout x<x1,f′(x)=x2−6x−1(x2+1)2
 
b. Montrer que pour tout x tel que 0<x<1,f′(x)=−x2−6x+1(x2+1)2
 
c. Pour x>1, calculer f′(x)
 
7. Étudier les variations de f puis dresser son tableau de variation. 
 
8.a  Montrer que les droites d'équations y=0 et x+12 sont des asymptotes à (Cf)
 
b. Construire (Cf)

Partie B

On désigne par g la restriction de f à [1 ; +∞[
 
1. Montrer que g réalise une bijection de I vers un intervalle J à déterminer. 
 
2.Construire la courbe représentative (C′) de la fonction réciproque g1 de g. 
 
3. Soit h la fonction définie sur [1 ; +∞[ par h(x)=4x+2f(x)
 
Déterminer la primitive de h sur \[1 ; +∞[ qui s'annule en 1.
 

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