Composition mathématique - TL

Exercice 1

 

et exercice est un questionnaire à choix multiples. 

 

Aucune justification n'est demandée. 

 

Pour chacune des questions, quatre réponses sont proposées ; une seule est exacte. 

 

Chaque réponse exacte rapporte $1$ point. 

 

Une réponse inexacte ou une absence de réponse est notée $0$ point.

 

Recopie sur ta copie le numéro de la question associée à la réponse choisie

 

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline &\text{ Reponses proposées }\\ \hline \text{Questions }&A&B&C&D\\ \hline 1.\text{ Si }&&&&\\f(x)=3x^{2}-5x+2&\mathbb{R}\{1\ ;\ \dfrac{2}{3}}&\left(1\ ;\ \dfrac{2}{3}\right)&\mathbb{R}&\left{1\ ;\ \dfrac{2}{3}\right}\\ \text{alors }D_{f}=&&&&\\ \hline 2.\text{Si }f(x)=\dfrac{-4x+3}{-x-4}&{-4}&\mathbb{R}\{\dfrac{3}{4}}&\mathbb{R}\{4}&\mathbb{R}\{-4}\\ \text{alors }D_{f}=&&&&\\ \hline 3.\text{ Si }&&&&\\ f(x)=\sqrt{-3x+6}&\mathbb{R}\{2}&[2\ ;\ +\infty[&]-\infty\ ;\ 2[&]-\infty\ ;\ 2]\\ \text{alors }D_{f}=&&&& \hline 4\lim\limits_{x\longrightarrow 3^{-}}\dfrac{-2x+5}{x-3}=&-\infty&+\infty&0&-1\\ \hline 5.\lim\limits_{x\longrightarrow 1}\dfrac{x^{2}-4x+3}{x^{2}+5x-6}=&0&-\infty&\dfrac{-2}{7}&+\infty\\ \hline 6.\text{ La dérivée de }&\dfrac{uv'-vu'}{v^{2}}&\dfrac{uv'-vu'}{v^{2}}&\dfrac{uv'-vu'}{v^{2}}&\dfrac{uv'-vu'}{v^{2}}\\ \text{est égale à : }&&&&\\ \hline 7.\text{Une équation de la }&&&&\\ \text{tangente }(T) à la &&&&\\ \text{courbe de la fonction }y=f'\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)&y-f\left(x_{0}\right)=f'\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)&y=f'\left(x_{0}\right)(x)+f\left(x_{0}\right)&y+f\left(x_{0}\right)=f'\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)\\ f\text{ au point d'abscisse }x_{0} est :&&&&\\ \hline 8.\text{ Si }f\text{ est telle que }&&&&\\ f(x)=x^{3}-3x+2&11&9&0&12\\ \text{alors }f'(2)\text{est égale à : }&&&&\\ \hline \end{array}$$

 

Exercice 2

 

1. On donne $P(x)=ax^{3}+\beta x^{2}-9x+18$ avec $\alpha$ et $\beta$ des réels.

 

Sachant que $3$ et $-2$ sont des racines de $P(x)$, déterminer les réels $\alpha$ et $\beta$

 

2. On pose $\alpha=2$ et $\beta=-2$ ce qui donne $P(x)=2x^{3}-5x^{2}-9x+18$

 

a. Factoriser complètement $P(x)$

 

b) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $P(x)=0$ puis en déduire les solutions de l'équation

 

$P(2x+1)=0$

 

3. On pose : $h(x)=\dfrac{2x^{3}-5x^{2}-9x+18}{-x^{2}+x+2}$

 

a. Déterminer la condition d'existence de $h(x)$

 

b. Étudier le signe de $h(x)$

 

c. En déduire la solution de l'inéquation $h(x)\geq 0$

 

Exercice 3 : 

 

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{-x^{2}-3x+9}{x-2}$ et de courbe représentative $\left(C_{f}\right)$ dans un repère orthonormé $\left(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)$

 

1. Déterminer le domaine de définition de $f.$

 

2. Calculer les limites de $f(x)$ aux bornes du domaine de définition de $f.$

 

En déduire une éventuelle asymptote de $\left(C_{f}\right)$

 

3.a. Montrer que la droite $(\Delta)\ :\ y=-x-5$ est une asymptote oblique à $\left(C_{f}\right)$

 

b. Étudier la position de $(\Delta)$ par rapport à $\left(C_{f}\right)$

 

4.a. Montrer que $f'(x)$ la dérivée de $f(x)$ est égale à : $f'(x)=\dfrac{-x^{2}+4x-3}{(x-2)^{2}}$

 

b. En déduire le sens de variations de $f.$

 

c. Dresser le tableau de variation de $f.$

 

5. Déterminer une équation de la tangente à $\left(C_{f}\right)$ au point d'abscisse $x_{0}=4.$