Composition mathématique - Ts1

On considère la suite $\left(S_{n}\right)\;,n\geq 1$ définie $S_{n}=\dfrac{1}{5}+\dfrac{4}{5^{2}}+\dfrac{7}{5^{3}}+\ldots+\dfrac{3n-2}{5^{n}}$

 

1. Montrer que $\forall k \in\mathbb{N}^{\ast}$, on a : $S_{k+1}=\dfrac{3k-2}{5^{k}}\times\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{5^{k}+1}$

 

2. En déduire :

 

a. le sens de variation de la suite $\left(S_{n}\right)$

 

b. la relation $S_{n+1}=\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}S_{n}+\dfrac{3}{20}\left(1-\dfrac{1}{5^{n}}\right)\forall n \in\mathbb{N}^{\ast}$

 

3. Déduire des questions $2.$ que la suite $\left(S_{n}\right)$ est majorée. 

 

4. Montrer que $\left(S_{n}\right)$ converge, puis calculer sa limite.

Le plan complexe est muni du repère orthonormal $\left(O\;,\vec{u}\;,\vec{v}\right)$, unité graphique $2\,cm$

 

On appelle $A$ le point d'affixe $\alpha=-2i$ et $B$ le point d'affixe $b=3-2i$

 

A tout point $M$ d'affixe z, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que : $z'=-2\overline{z}+2i$

 

1. Déterminer la forme algébrique des affixes $a'$ et $b'$ des points $A'$ et $B'$ associes respectivement aux points $A$ et $B.$

 

Placer ces points dans le repère. 

 

2. Montrer que si $M$ appartient à la droite $(D)$ d'équation $y=-2$$ alors $M'$ appartient aussi à la droite $(D.)$

 

3. Démontrer que pour tout point $M$ d'affixe $z$, $\left|z^{'}+2i\right|=2\left|z+2i\right|$, interpréter géométriquement cette égalité.

 

Pour tout point $M$ distincte de $A$, on appelle $\theta$ un argument de $z+2i$

 

a. Justifier que $\theta$ est une mesure de l'angle $\left(\vec{u}\;,\overrightarrow{AM}\right)$

 

b. Démontrer que $\left(z^{'}+2i\right)\left(z+2i\right)$ est un réel négatif non nul. 

 

c. En déduire un argument de $z'+2i$ en fonction de $\theta.$

 

d. Que peut-on en déduire des demi-droites $[AM)$ et $\left[AM'\right).$

 

5. En utilisant les résultats précédents proposer une construction géométrique du point $M'$ associé au point $M.$

 

6. L'unité étant le mètre, MODOU a une plantation dont la forme est celle de l'ensemble des points $M'$ du plan d'affixe $z'$ tels que :

$\left|z'+2i\right|$

 

Il souhaite clôturer avec du fil barbelé dont le mètre coute $350\,F$ et il a prévu de faire deux rangés de fils, sachant qu'il dispose d'une somme $30.000\,F$

 

L'argent de MODOU sera-t-il suffisant pour protéger cette plantation ?

On considère la $f_{n}$ définie sur l'intervalle $]0\ ;\ +\infty[$ pour tout entier naturel $n$ par : $f_{n}(x)=\dfrac{(lnx)^{n}}{x^{2}}$ et $C_{n}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé  unité graphique $2\,cm$

 

1. Calculer les limites aux bornes de $D_{f}.$

 

Interpréter graphiquement les résultats.

 

2. Étudier les variations de $f_{n}$

 

3. Dresser le tableau de variations de $f_{n}$

 

4. Construire dans le même repère les courbes $C_{1}$, $C_{2}$ et $C_{3}$

 

5. Soit$\beta\in\mathbb{R}$ et $\beta>1.$

 

a. Par une intégration par partie calculer l'aire $A_{\beta}$ du domaine délimité par la courbe $C_{1}$

 

l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=\beta$

 

b) En déduire $\lim\limits_{\beta\longrightarrow +\infty}A_{\beta}$

On considère la suite $\left(I_{n}\right)$ définie pour tout entier  $n\in\mathbb{N}^{\ast}$ par : $I_{n}=\int_{1}^{e}\dfrac{(lnx)^{n}}{x^{2}}dx.$

 

1. Calculer la dérivée de la fonction $g$ : $x\mapsto\dfrac{1+lnx}{x}$, en déduire $I_{1}$

 

2. Montrer que : $I_{N+1}+\dfrac{-1}{e}+(n+1)I_{n}$, en déduire $L_{2}.$

 

3. Montrer que : $\dfrac{1}{n!}I_{n}=1-\dfrac{1}{e}\left(1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\ldots\ldots\ldots\ldots+\dfrac{1}{n!}\right)$

 

4. En utilisant un encadrement de la fonction $ lnx$ sur $[1\ ;\ e]$ démontrer que $\forall n\in\mathbb{N}^{\ast}$,

 

$0\leq I_{n}\leq 1$ ; en déduire $\lim\limits_{n\longrightarrow +\infty}\left(1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\ldots\ldots\ldots\ldots+\dfrac{1}{n!}\right)$

Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $F_{n}$ définie sur l'intervalle $]2\ ;\ +\infty[$ par :

 

Pour tout réel $\beta\geq 3$, on donne $J_{1}(\beta)=\int_{3}^{\beta}F_{1}(t)dt$

 

1. Donner l'interprétation graphique de $J_{1}(\beta).$

 

2. A l'aide d'un changement de variable, montrer que $J_{1}(\beta)=\int_{1}^{\beta-2}\left(\dfrac{lnt}{t^{2}}\right)dt.$

 

3. A l'aide d'une intégration par partie, exprimer $J_{1}(\beta)$ en fonction de $\beta.$

 

4. Calculer $\lim\limits_{\beta\longrightarrow +\infty}J_{1}(\beta)$

Soit $\left(S_{n}\right)$ la suite définie par $S_{n}=\Sigma_{p=5}^{n}F_{2}(P).$

 

1. Montrer que la suite $\left(S_{n}\right)$ est croissante.

 

2. Étudier les variations de $F_{2}$ sur l'intervalle $[e+2\ ;\ +\infty[.$

 

En déduire que pour tout entier $p\geq 5\ ;\ F_{2}(p)\leq\int_{p}^{p+1}F_{2}(t)dt\leq F_{2}(p+1)$

 

4. Montrer que pour tout entier $n\geq5\;,F_{2}(5)\leq S_{n}-\int_{5}^{n}F_{2}(t)dt\leq F_{2}(n).p$