Composition mathématique - Ts1

Classe: 
Terminale

Exercice 1

On considère la suite (Sn),n1 définie Sn=15+452+753++3n25n
 
1. Montrer que kN, on a : Sk+1=3k25k×15+35k+1
 
2. En déduire :
 
a. le sens de variation de la suite (Sn)
 
b. la relation Sn+1=15+15Sn+320(115n)nN
 
3. Déduire des questions 2. que la suite (Sn) est majorée. 
 
4. Montrer que (Sn) converge, puis calculer sa limite.

Exercice 2

Le plan complexe est muni du repère orthonormal (O,u,v), unité graphique 2cm
 
On appelle A le point d'affixe α=2i et B le point d'affixe b=32i
 
A tout point M d'affixe z, on associe le point M d'affixe z tel que : z=2¯z+2i
 
1. Déterminer la forme algébrique des affixes a et b des points A et B associes respectivement aux points A et B.
 
Placer ces points dans le repère. 
 
2. Montrer que si M appartient à la droite (D) d'équation y=2alorsM' appartient aussi à la droite (D.)$
 
3. Démontrer que pour tout point M d'affixe z, \left|z^{'}+2i\right|=2\left|z+2i\right|, interpréter géométriquement cette égalité.
 
Pour tout point M distincte de A, on appelle \theta un argument de z+2i
 
a. Justifier que \theta est une mesure de l'angle \left(\vec{u}\;,\overrightarrow{AM}\right)
 
b. Démontrer que \left(z^{'}+2i\right)\left(z+2i\right) est un réel négatif non nul. 
 
c. En déduire un argument de z'+2i en fonction de \theta.
 
d. Que peut-on en déduire des demi-droites [AM) et \left[AM'\right).
 
5. En utilisant les résultats précédents proposer une construction géométrique du point M' associé au point M.
 
6. L'unité étant le mètre, MODOU a une plantation dont la forme est celle de l'ensemble des points M' du plan d'affixe z' tels que :
\left|z'+2i\right|
 
Il souhaite clôturer avec du fil barbelé dont le mètre coute 350\,F et il a prévu de faire deux rangés de fils, sachant qu'il dispose d'une somme 30.000\,F
 
L'argent de MODOU sera-t-il suffisant pour protéger cette plantation ?

Problème :

Partie A

On considère la f_{n} définie sur l'intervalle ]0\ ;\ +\infty[ pour tout entier naturel n par : f_{n}(x)=\dfrac{(lnx)^{n}}{x^{2}} et C_{n} sa courbe représentative dans un repère orthonormé  unité graphique 2\,cm
 
1. Calculer les limites aux bornes de D_{f}.
 
Interpréter graphiquement les résultats.
 
2. Étudier les variations de f_{n}
 
3. Dresser le tableau de variations de f_{n}
 
4. Construire dans le même repère les courbes C_{1}, C_{2} et C_{3}
 
5. Soit\beta\in\mathbb{R} et \beta>1.
 
a. Par une intégration par partie calculer l'aire A_{\beta} du domaine délimité par la courbe C_{1}
 
l'axe des abscisses et les droites d'équations x=1 et x=\beta
 
b) En déduire \lim\limits_{\beta\longrightarrow +\infty}A_{\beta}

Partie B

On considère la suite \left(I_{n}\right) définie pour tout entier  n\in\mathbb{N}^{\ast} par : I_{n}=\int_{1}^{e}\dfrac{(lnx)^{n}}{x^{2}}dx.
 
1. Calculer la dérivée de la fonction g : x\mapsto\dfrac{1+lnx}{x}, en déduire I_{1}
 
2. Montrer que : I_{N+1}+\dfrac{-1}{e}+(n+1)I_{n}, en déduire L_{2}.
 
3. Montrer que : \dfrac{1}{n!}I_{n}=1-\dfrac{1}{e}\left(1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\ldots\ldots\ldots\ldots+\dfrac{1}{n!}\right)
 
4. En utilisant un encadrement de la fonction $ lnx sur [1\ ;\ e] démontrer que \forall n\in\mathbb{N}^{\ast}$,
 
0\leq I_{n}\leq 1 ; en déduire \lim\limits_{n\longrightarrow +\infty}\left(1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\ldots\ldots\ldots\ldots+\dfrac{1}{n!}\right)

Partie C

Pour tout entier naturel n, on considère la fonction F_{n} définie sur l'intervalle ]2\ ;\ +\infty[ par :
 
Pour tout réel \beta\geq 3, on donne J_{1}(\beta)=\int_{3}^{\beta}F_{1}(t)dt
 
1. Donner l'interprétation graphique de J_{1}(\beta).
 
2. A l'aide d'un changement de variable, montrer que J_{1}(\beta)=\int_{1}^{\beta-2}\left(\dfrac{lnt}{t^{2}}\right)dt.
 
3. A l'aide d'une intégration par partie, exprimer J_{1}(\beta) en fonction de \beta.
 
4. Calculer \lim\limits_{\beta\longrightarrow +\infty}J_{1}(\beta)

Partie D

Soit \left(S_{n}\right) la suite définie par S_{n}=\Sigma_{p=5}^{n}F_{2}(P).
 
1. Montrer que la suite \left(S_{n}\right) est croissante.
 
2. Étudier les variations de F_{2} sur l'intervalle [e+2\ ;\ +\infty[.
 
En déduire que pour tout entier p\geq 5\ ;\ F_{2}(p)\leq\int_{p}^{p+1}F_{2}(t)dt\leq F_{2}(p+1)
 
4. Montrer que pour tout entier n\geq5\;,F_{2}(5)\leq S_{n}-\int_{5}^{n}F_{2}(t)dt\leq F_{2}(n).p
 

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