Composition mathématique - Ts1
Classe:
Terminale
Exercice 1
On considère la suite (Sn),n≥1 définie Sn=15+452+753+…+3n−25n
1. Montrer que ∀k∈N∗, on a : Sk+1=3k−25k×15+35k+1
2. En déduire :
a. le sens de variation de la suite (Sn)
b. la relation Sn+1=15+15Sn+320(1−15n)∀n∈N∗
3. Déduire des questions 2. que la suite (Sn) est majorée.
4. Montrer que (Sn) converge, puis calculer sa limite.
Exercice 2
Le plan complexe est muni du repère orthonormal (O,→u,→v), unité graphique 2cm
On appelle A le point d'affixe α=−2i et B le point d'affixe b=3−2i
A tout point M d'affixe z, on associe le point M′ d'affixe z′ tel que : z′=−2¯z+2i
1. Déterminer la forme algébrique des affixes a′ et b′ des points A′ et B′ associes respectivement aux points A et B.
Placer ces points dans le repère.
2. Montrer que si M appartient à la droite (D) d'équation y=−2alorsM'appartientaussiàladroite(D.)$
3. Démontrer que pour tout point M d'affixe z, |z′+2i|=2|z+2i|, interpréter géométriquement cette égalité.
Pour tout point M distincte de A, on appelle θ un argument de z+2i
a. Justifier que θ est une mesure de l'angle (→u,→AM)
b. Démontrer que (z′+2i)(z+2i) est un réel négatif non nul.
c. En déduire un argument de z′+2i en fonction de θ.
d. Que peut-on en déduire des demi-droites [AM) et [AM′).
5. En utilisant les résultats précédents proposer une construction géométrique du point M′ associé au point M.
6. L'unité étant le mètre, MODOU a une plantation dont la forme est celle de l'ensemble des points M′ du plan d'affixe z′ tels que :
|z′+2i|
Il souhaite clôturer avec du fil barbelé dont le mètre coute 350F et il a prévu de faire deux rangés de fils, sachant qu'il dispose d'une somme 30.000F
L'argent de MODOU sera-t-il suffisant pour protéger cette plantation ?
Problème :
Partie A
On considère la fn définie sur l'intervalle ]0 ; +∞[ pour tout entier naturel n par : fn(x)=(lnx)nx2 et Cn sa courbe représentative dans un repère orthonormé unité graphique 2cm
1. Calculer les limites aux bornes de Df.
Interpréter graphiquement les résultats.
2. Étudier les variations de fn
3. Dresser le tableau de variations de fn
4. Construire dans le même repère les courbes C1, C2 et C3
5. Soitβ∈R et β>1.
a. Par une intégration par partie calculer l'aire Aβ du domaine délimité par la courbe C1
l'axe des abscisses et les droites d'équations x=1 et x=β
b) En déduire lim
Partie B
On considère la suite \left(I_{n}\right) définie pour tout entier n\in\mathbb{N}^{\ast} par : I_{n}=\int_{1}^{e}\dfrac{(lnx)^{n}}{x^{2}}dx.
1. Calculer la dérivée de la fonction g : x\mapsto\dfrac{1+lnx}{x}, en déduire I_{1}
2. Montrer que : I_{N+1}+\dfrac{-1}{e}+(n+1)I_{n}, en déduire L_{2}.
3. Montrer que : \dfrac{1}{n!}I_{n}=1-\dfrac{1}{e}\left(1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\ldots\ldots\ldots\ldots+\dfrac{1}{n!}\right)
4. En utilisant un encadrement de la fonction $ lnx sur [1\ ;\ e] démontrer que \forall n\in\mathbb{N}^{\ast}$,
0\leq I_{n}\leq 1 ; en déduire \lim\limits_{n\longrightarrow +\infty}\left(1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\ldots\ldots\ldots\ldots+\dfrac{1}{n!}\right)
Partie C
Pour tout entier naturel n, on considère la fonction F_{n} définie sur l'intervalle ]2\ ;\ +\infty[ par :
Pour tout réel \beta\geq 3, on donne J_{1}(\beta)=\int_{3}^{\beta}F_{1}(t)dt
1. Donner l'interprétation graphique de J_{1}(\beta).
2. A l'aide d'un changement de variable, montrer que J_{1}(\beta)=\int_{1}^{\beta-2}\left(\dfrac{lnt}{t^{2}}\right)dt.
3. A l'aide d'une intégration par partie, exprimer J_{1}(\beta) en fonction de \beta.
4. Calculer \lim\limits_{\beta\longrightarrow +\infty}J_{1}(\beta)
Partie D
Soit \left(S_{n}\right) la suite définie par S_{n}=\Sigma_{p=5}^{n}F_{2}(P).
1. Montrer que la suite \left(S_{n}\right) est croissante.
2. Étudier les variations de F_{2} sur l'intervalle [e+2\ ;\ +\infty[.
En déduire que pour tout entier p\geq 5\ ;\ F_{2}(p)\leq\int_{p}^{p+1}F_{2}(t)dt\leq F_{2}(p+1)
4. Montrer que pour tout entier n\geq5\;,F_{2}(5)\leq S_{n}-\int_{5}^{n}F_{2}(t)dt\leq F_{2}(n).p
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