Composition mathématique - Ts2

Classe: 
Terminale

Exercice 1

Dans cet exercice, pour chaque item proposé, une seule réponse est correcte.
 
Choisir la bonne réponse dans la colonne des propositions, et justifier ce choix.
 
Chaque bonne réponse justifiée est notée 1 point.
 

Ttems Propositions 1. Une primitive sur ]1 ; +∞[de la fonction fa.F(x)=2x√x2−1définie par f(x)=−2(x2−1)√x2−1b.F(x)=2x√x2−1est la fonction Fdéfinie par :c.F(x)=−2√x2−1a.−132.limx⟶0x−2sinxtan6x est égale à : b.−16c.0a.√32(cos(−π4)+isin(−π4))3. La forme trigonométrique du nombre complexe b.√32(cos5π4+isin5π4)z=−√32−i√32est :c.√62(cos5π4+isin5π4)a.−45+35i4. La forme algébrique du complexe b.45−35iz=√32−i√32 est :c.−45−35ia.f([a ; b])=[f(a) ; f(b)]5.Sif une fonction continue et strictement b.f([a ; b])=[f(b) ; f(a)]décroissante sur [a ; b]alors on a c.f([a ; ])=[f(b) ; f(a)[

Exercice 2

1. Soit P le polynôme de la variable complexe z défini par :
P(z)=z3−(5+6i)z2+(19i−5)z+18−6i
 
a. Montrer que l'équation P(z)=0 admet une solution imaginaire pure. 
 
b. En déduire les solutions dans C de l'équation P(z)=0
 
2. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (o,→i,→v), on considère les points A(2+i) ; B(2i) ; C(3+3i) et M(z).
 
On pose f(z)=z−2iz−3−3i
 
a. Placer les points A, B et C 
 
b. Interpréter géométriquement |f(z)| et arg[f(z)].
 
c. Déterminer la forme algébrique de zA−zBzA−zC
 
d. En déduire la nature du triangle ABC
 
e. Déterminer la forme algébrique de [f(1+4i)]2024
 
f. Déterminer et construire l'ensemble des points M(z) tels que f(z) soit un imaginaire pur

Problème :

e plan est muni d'un repère orthonormé (O,→i,→j)

Partie A :

Soit h la fonction définie par h(x)=x3−3x−4
 
1. Dressons le tableau de variation de h
 
2. a. Montrer que l'équation h(x)=0 admet une solution unique α et que 2.1<α<2.2
 
b. En déduire le signe de h(x) sur ]0 ; +∞[

Partie B

Soit\lef(C_{f}\right) la courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal (0 ; →i ; →j)
 
1cm de la fonction numérique f définie par : 
 
{f(x)=x+1−xln(−x) ;  si x<0f(x)=x3−3x2−1x2−1, si x≥0
 
1. Montrer que l'ensemble de définition Df est R−1 de f
 
2.a. Calculer les limites de f aux bornes de Df
 
b. Préciser les éventuelles asymptotes parallèles aux axes.
 
Étudier la nature de chacune des branches des branches en +∞ et −∞
 
3.a. Montrer que f est continue en 0.
 
b. Étudier la dérivabilité de f en 0 et interpréter le résultat.
 
4.a. Montrer que sur ]0 ; +∞[1, la dérivée de f est f′(x)=xh(x)(x2−1)2
 
b. Calculer f′(x) sur l'intervalle ]−∞ ; 0[
 
c. Dresser le tableau de variations de f
 
4. Donner l'équation de la tangente (T)à (Cf) au point A d'abscisse −e
 
Partie C :  
 
Soit g la restriction de f sur ]−∞ ; −1]
 
1. Montrer que g est bijective de ]−∞ ; −1] vers un intervalle J à préciser.
 
2. Construire la tangente (T), les asymptotes et les courbes (Cf) et (Cg−1)
 

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