Composition - Ts2

b. Soit $\left(U_{n}\right)_{n\geq n_{0}}$ une suite définie par :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} u_{n_{0}}&=&x_{0}\\ u_{u+1}&=&f\left(u_{n}\right) \end{array}\right.$$

 

où $f$ est une fonction continue et $l\in\mathbb{R}$

 

$\lim\limits_{n\longrightarrow\;,+\infty}u_{n}=l$ alors $f(l)=l$

 

2. Soit la fonction $f$ définie sur $[0\ ;\ +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{2x+3}{x+4}$

 

Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ puis construire sa courbe . 

NB : On prendra l'échelle $\,cm$ correspond à une unité.

 

3. On considère la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geq }$ définie par :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} u_{0}&=&0\\ u_{n+1}&=&\dfrac{2u_{n}+3}{u_{n}+4} \end{array}\right.$$

 

a. Placer les trois premiers termes de la suite sur l'axe des abscisses. 

 

b. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=2-\dfrac{5}{u_{n}+4}$

 

c. Démontrer par récurrence que $\forall n\geq 0\;,0\leq u_{n}\leq 1$

 

d. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.

 

e. En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite $l$

Les parties $A$ et $B$ indépendantes

On donne les complexes $z_{1}=1+i\sqrt{3}$ et $z_{2}=1+i$

 

1. Déterminer le module et un argument de $z_{1}$ et $z_{2}$

 

2. En déduire la forme trigonométrique de $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$

 

3. Donner la forme algébrique de $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$

 

4. En utilisant les questions $2.$ et $3.$ donner les valeurs exactes de cos $\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et sin $\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$

Dans le plan complexe $\mathbb{P}$ muni d'un repère orthonormal direct $\left(0\;,\vec{u}\;,\vec{v}\right)$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $2i$, $b=3$ et $c=-3-i$

 

Soit le nombre complexe $Z=\dfrac{a-b}{a-c}$

 

1. Donner une interprétation géométrique du module et d'un argument de $Z.$

 

2. Donner le module et un argument de $Z.$

 

3. En déduire la nature du triangle $ABC.$

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=2x^{3}+x^{2}-1$

 

1. Dresser le tableau de variation de la fonction $g.$

 

2. Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ puis déduire que $0.6\leq\alpha\leq 0.7.$

 

3. En déduire le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$

Soit $f$ la fonction définie par : 

 

$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} \dfrac{x^{3}x^{2}+1}{3x}&\text{ si }x<1\\ x+1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}&\text{ si }x\geq 1 \end{array}\right.$ et $(C)$ la courbe représentative dans  un plan muni d'un repère orthonormal. 

 

4. Montrer que la fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}{0}$

 

5. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition.

 

6. En déduire l'équation de l'asymptote verticale à la courbe de $f.$

 

7. Étudier la continuité de $f$ en $1.$

 

8. Montrer que : $\forall x< 1$, $\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\dfrac{x^{2}+2x-1}{3x}$

 

9; Montrer que :$\forall x> 1$, $\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\dfrac{x^{2}+x+1}{x^{2}+\sqrt{x}}$

 

10. Étudier la dérivabilité de $f$ en $1$ puis interpréter graphiquement les résultats.

 

11. Montrer que $\forall x< 1$, $f^{'}(x)=\dfrac{g(x)}{3x^{2}}$

 

12. Montrer que $\forall x> 1$, $f'(x)=1+\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}$

 

13. Dresser le tableau de variation de $f$

 

14. Montrer que la droite $(D)$ : $y=x+1$ est une asymptote à la courbe de $f$ en $\infty$

 

15. Étudier la position relative de la courbe de $f$ par rapport à 

$(D)$

 

16. Déterminer la nature de la branche infinie de $f$ en $\infty$

 

17. Construire $(C).$

 

On prendra $a=0.5$

On considère la fonction $h$ définie sur $]-\infty\ ;\ 0[$ par $h(x)=\dfrac{x^{3}+x^{2}+1}{3x^{2}}$

 

1. Montrer que $h$ admet des primitives sur $]-\infty\ ;\ 0[$

 

2. Déterminer la primitive de $h$ sur $]-\infty\ ;\ 1[$ qui s'annule en $-1.$