Concours d'ENSAE 2023/2024

1. Démontrer que, pour tout réel $x\in\mathbb{R_{+}}$ et pour tout $n\in\mathbb{R}$, on a :

 

$(1+x)^{n}\geq 1+nx$

 

2. On dispose de $n$ boules numérotées de $1$ à $n.$

 

On les range toutes dans (chaque boite pouvant contenir de $0$ à $n$ boules).

 

a. Déterminer le nombre total $A_{n}$ de rangements possibles.

 

b. Déterminer le nombre total $B_{n}$ de rangements tels que chaque boite contienne exactement une boule.

 

3. On pose $P_{n}=\dfrac{B_{n}}{A_{n}}\;,\forall n\in\mathbb{N^{\ast}}$

 

b. En déduire que $P_{n}\leq\dfrac{1}{2^{n}-1}\;,\forall n\in\mathbb{N^{\ast}}$, puis calculer $\lim\limits_{n\longrightarrow +\infty} P_{n}$

Soit $\alpha\in\mathbb{R_{+}^{\ast}}$

 

On note par $f_{\alpha}$ la fonction définie par $f_{\alpha}(x)=\dfrac{x^{2}+(a+1)x+2a}{x+1}$ et $\left(C_{\alpha}\right)$ sa courbe dans un repère orthonormé $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$ du plan.

 

1.a. Étudier les variation de $f_{\alpha}$ sur son domaine de définition

 

b. On note $A_{\alpha}$ et $B_{\alpha}$ les points de $\left(C_{\alpha}\right)$ correspondant respectivement au maximum et minimum retatifs de $f_{\alpha}$.

 

Lorsque $\alpha$ décrit $\mathbb{R_{+}^{\ast}}$, déterminer, par son équation cartésienne, réunion $P$ de l'ensemble des points $A_{\alpha}$ et l'ensemble des points $B_{\alpha}$

 

2. déterminer, par son équation cartésienne, l'asymptote oblique $\left(D_{\alpha}\right)$ de $\left(C_{\alpha}\right)$

 

3. Montrer que les courbes $\left(C_{\alpha}\right)$ ont un unique point commun $I$ qu'on précisera.

 

4. Étudier les positions relatives  des deux courbes $\left(C_{\alpha}\right)$ et $\left(C_{\beta}\right)$, avec $\alpha<\beta$

 

5. Construire dans $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$, les courbes : $\left(C_{1}\right)$, $\left(C_{2}\right)$, $\left(C_{4}\right)$ et $P$

On considère une suite $\left(O_{n}\right)n\geq 0$ de réels positifs ou nuls, avec, $\alpha_{0}>0$ et $\alpha_{1}>0.$

 

Pour tout $n\in\mathbb{N^{\ast}}$, on définit sur $\mathbb{R^{\ast}}$, la fonction $P_{n}$ par : $P_{n}(x)=-\alpha_{0}+\Sigma_{\lim\limits k=1}^{n}\alpha_{k}I^{k}$

 

1.a. Montrer que $\forall _{n}\in\mathbb{N^{\ast}}$, il existe unique $u_{n}>0$ tel que $P_{n}\left(U_{n}\right)=0$

 

 

b. Montrer que la suite $\left(U_{n}\right)n\geq 1$ ainsi obtenue est convergente

 

2. On pose : $\alpha_{n}=n+1$, pour tout $n\in\mathbb{N}$

 

a. Montrer qu'on a : $\forall x\geq 0$et $x\neq 1$, $P_{n}(x)=\dfrac{(n+1)x^{n+2}-(n+2)x^{n+1}-2x^{2}+4x-1}{(x-1)^{2}}$

 

b. calculer $u_{1}$ et montrer que $0\leq u_{n}\dfrac{1}{2}\;,\forall n\in\mathbb{N}$

 

c. En déduire la valeur de $I=\lim\limits_{n\longrightarrow+\infty}u_{n}$

L'objectif de cet exercice est de montrer l'important résultat suivant :

 

$\begin{array}{rcl} \lim\limits_{n\longrightarrow +\infty}\sigma_{\lim\limits k=1}^{n}\dfrac{1}{k^{2}}&=&\dfrac{\pi^{2}}{6}\\&=&\sigma_{\lim\limits n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{2}}\text{(Simple notation)} \end{array}$

 

On pose : $V_{n}=\sigma_{\lim\limits k=1}^{n}\dfrac{1}{K^{2}}\;,\forall n\in\mathbb{N^{\ast}}$

 

1. On se propose de montrer, ici, que la suite $\left(v_{n}\right)n\geq 1$ est convergente.

 

a. En utilisant l'égalité ; 

 

$\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{n(n+1)}&=&\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\\\;,\forall\in\mathbb{N^{\ast}} \end{array}$, montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ telle que $u_{n}=\sigma_{\lim\limits p=1}^{n}\dfrac{1}{p(p+1)}$ est convergente, et trouver sa limite.

 

b. Montrer que $\dfrac{1}{n^{2}}<\dfrac{1}{n(n-1)}\;,\forall n\geq 2.$ En déduire que la suite $\left(v_{n}\right)$ est majorée, puis qu'elle est convergente.

 

2. On se propose de calculer, ici la limite de la suite $\left(v_{n}\right)n\geq 1.$

 

On considère $\alpha$ réel tel que $0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}$ et on admet la relation suivante : 

 

$\sin(n\alpha)=\sin^{n}(\alpha)\left(C_{n}^{1}\cot^{n-1}(\alpha)-C_{n}^{3}\cot^{n-3}(\alpha)+C_{n}^{5}\cot^{n-5}(\alpha)-\ldots\right)$, le dernier terme dépendant de la parité de $n.$

 

On suppose dans la suite que $n$ est impaire et on pose :

 

a. Démontrer que les racines du polynôme : 

 

$P(x)=C_{2p+1}^{1}x^{p}-C_{2p+1}^{3}x^{p-1}+C_{2p+1}^{5}x^{p-2}+\ldots+(-1)^{k}C_{2p+1}^{2k+1}x^{p-k}+\ldots+(-1)^{p}$

 

Sont : $\begin{array}{rcl} x_{k}&=&\cot^{2}\left(\dfrac{k\pi}{2p+1}\right)\\&=&\cot^{2}\left(\dfrac{k\pi}{n}\right)\;,\\ \forall k\in\left(1\;,2\;,\ldots\;,p=\dfrac{n-1}{2}\right)\end{array}$

 

b. En déduire que $\sigma_{\lim\limits k=1}^{P}x_{k}=\dfrac{1}{6}(n-1)(n-2)$

 

c. Sachant que $\sin(\alpha)<\alpha<\tan(\alpha)\;,\forall\alpha\in\left]0\;,\dfrac{\pi}{2}\right[$ et que $\dfrac{1}{\sin^{2}(\alpha)}=1+\cot^{2}(\alpha)$

 

montrer que $\dfrac{1}{6}(n-1)(n-2)<\dfrac{n^{2}}{\pi^{2}}v_{n}<\dfrac{1}{6}(n-1)(n+1)\;,\forall n\geq 2$

 

d. En déduire $\lim\limits_{n\longrightarrow+\infty}v_{n}$ et conclure.