Concours d'ENSAE 2023/2024

Exercice 1

1. Démontrer que, pour tout réel xR+ et pour tout nR, on a :
 
(1+x)n1+nx
 
2. On dispose de n boules numérotées de 1 à n.
 
On les range toutes dans (chaque boite pouvant contenir de 0 à n boules).
 
a. Déterminer le nombre total An de rangements possibles.
 
b. Déterminer le nombre total Bn de rangements tels que chaque boite contienne exactement une boule.
 
3. On pose Pn=BnAn,nN
 
b. En déduire que Pn12n1,nN, puis calculer limn+Pn

Exercice 2 

Soit αR+
 
On note par fα la fonction définie par fα(x)=x2+(a+1)x+2ax+1 et (Cα) sa courbe dans un repère orthonormé (O,i,j) du plan.
 
1.a. Étudier les variation de fα sur son domaine de définition
 
b. On note Aα et Bα les points de (Cα) correspondant respectivement au maximum et minimum retatifs de fα.
 
Lorsque α décrit R+, déterminer, par son équation cartésienne, réunion P de l'ensemble des points Aα et l'ensemble des points Bα
 
2. déterminer, par son équation cartésienne, l'asymptote oblique (Dα) de (Cα)
 
3. Montrer que les courbes (Cα) ont un unique point commun I qu'on précisera.
 
4. Étudier les positions relatives  des deux courbes (Cα) et (Cβ), avec α<β
 
5. Construire dans (O,i,j), les courbes : (C1), (C2), (C4) et P

Exercice 3

On considère une suite (On)n0 de réels positifs ou nuls, avec, α0>0 et α1>0.
 
Pour tout nN, on définit sur R, la fonction Pn par : Pn(x)=α0+Σnlimk=1αkIk
 
1.a. Montrer que nN, il existe unique un>0 tel que Pn(Un)=0
 
 
b. Montrer que la suite (Un)n1 ainsi obtenue est convergente
 
2. On pose : αn=n+1, pour tout nN
 
a. Montrer qu'on a : x0et x1, Pn(x)=(n+1)xn+2(n+2)xn+12x2+4x1(x1)2
 
b. calculer u1 et montrer que 0un12,nN
 
c. En déduire la valeur de I=limn+un

Exercice 4

L'objectif de cet exercice est de montrer l'important résultat suivant :
 
limn+σnlimk=11k2=π26=σ+limn=11n2(Simple notation)
 
On pose : Vn=σnlimk=11K2,nN
 
1. On se propose de montrer, ici, que la suite (vn)n1 est convergente.
 
a. En utilisant l'égalité ; 
 
1n(n+1)=1n1n1n+1,N, montrer que la suite (un) telle que un=σnlimp=11p(p+1) est convergente, et trouver sa limite.
 
b. Montrer que 1n2<1n(n1),n2. En déduire que la suite (vn) est majorée, puis qu'elle est convergente.
 
2. On se propose de calculer, ici la limite de la suite (vn)n1.
 
On considère α réel tel que 0<α<π2 et on admet la relation suivante : 
 
sin(nα)=sinn(α)(C1ncotn1(α)C3ncotn3(α)+C5ncotn5(α)), le dernier terme dépendant de la parité de n.
 
On suppose dans la suite que n est impaire et on pose :
 
a. Démontrer que les racines du polynôme : 
 
P(x)=C12p+1xpC32p+1xp1+C52p+1xp2++(1)kC2k+12p+1xpk++(1)p
 
Sont : xk=cot2(kπ2p+1)=cot2(kπn),k(1,2,,p=n12)
 
b. En déduire que σPlimk=1xk=16(n1)(n2)
 
c. Sachant que sin(α)<α<tan(α),α]0,π2[ et que 1sin2(α)=1+cot2(α)
 
montrer que 16(n1)(n2)<n2π2vn<16(n1)(n+1),n2
 
d. En déduire limn+vn et conclure.
 

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