Concours d'ENSAE 2023/2024

Exercice 1

1. Démontrer que, pour tout réel xR+ et pour tout nR, on a :
 
(1+x)n1+nx
 
2. On dispose de n boules numérotées de 1 à n.
 
On les range toutes dans (chaque boite pouvant contenir de 0 à n boules).
 
a. Déterminer le nombre total An de rangements possibles.
 
b. Déterminer le nombre total Bn de rangements tels que chaque boite contienne exactement une boule.
 
3. On pose Pn=BnAn,nN
 
b. En déduire que Pn12n1,nN, puis calculer lim

Exercice 2 

Soit \alpha\in\mathbb{R_{+}^{\ast}}
 
On note par f_{\alpha} la fonction définie par f_{\alpha}(x)=\dfrac{x^{2}+(a+1)x+2a}{x+1} et \left(C_{\alpha}\right) sa courbe dans un repère orthonormé \left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right) du plan.
 
1.a. Étudier les variation de f_{\alpha} sur son domaine de définition
 
b. On note A_{\alpha} et B_{\alpha} les points de \left(C_{\alpha}\right) correspondant respectivement au maximum et minimum retatifs de f_{\alpha}.
 
Lorsque \alpha décrit \mathbb{R_{+}^{\ast}}, déterminer, par son équation cartésienne, réunion P de l'ensemble des points A_{\alpha} et l'ensemble des points B_{\alpha}
 
2. déterminer, par son équation cartésienne, l'asymptote oblique \left(D_{\alpha}\right) de \left(C_{\alpha}\right)
 
3. Montrer que les courbes \left(C_{\alpha}\right) ont un unique point commun I qu'on précisera.
 
4. Étudier les positions relatives  des deux courbes \left(C_{\alpha}\right) et \left(C_{\beta}\right), avec \alpha<\beta
 
5. Construire dans \left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right), les courbes : \left(C_{1}\right), \left(C_{2}\right), \left(C_{4}\right) et P

Exercice 3

On considère une suite \left(O_{n}\right)n\geq 0 de réels positifs ou nuls, avec, \alpha_{0}>0 et \alpha_{1}>0.
 
Pour tout n\in\mathbb{N^{\ast}}, on définit sur \mathbb{R^{\ast}}, la fonction P_{n} par : P_{n}(x)=-\alpha_{0}+\Sigma_{\lim\limits k=1}^{n}\alpha_{k}I^{k}
 
1.a. Montrer que \forall _{n}\in\mathbb{N^{\ast}}, il existe unique u_{n}>0 tel que P_{n}\left(U_{n}\right)=0
 
 
b. Montrer que la suite \left(U_{n}\right)n\geq 1 ainsi obtenue est convergente
 
2. On pose : \alpha_{n}=n+1, pour tout n\in\mathbb{N}
 
a. Montrer qu'on a : \forall x\geq 0et x\neq 1, P_{n}(x)=\dfrac{(n+1)x^{n+2}-(n+2)x^{n+1}-2x^{2}+4x-1}{(x-1)^{2}}
 
b. calculer u_{1} et montrer que 0\leq u_{n}\dfrac{1}{2}\;,\forall n\in\mathbb{N}
 
c. En déduire la valeur de I=\lim\limits_{n\longrightarrow+\infty}u_{n}

Exercice 4

L'objectif de cet exercice est de montrer l'important résultat suivant :
 
\begin{array}{rcl} \lim\limits_{n\longrightarrow +\infty}\sigma_{\lim\limits k=1}^{n}\dfrac{1}{k^{2}}&=&\dfrac{\pi^{2}}{6}\\&=&\sigma_{\lim\limits n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{2}}\text{(Simple notation)} \end{array}
 
On pose : V_{n}=\sigma_{\lim\limits k=1}^{n}\dfrac{1}{K^{2}}\;,\forall n\in\mathbb{N^{\ast}}
 
1. On se propose de montrer, ici, que la suite \left(v_{n}\right)n\geq 1 est convergente.
 
a. En utilisant l'égalité ; 
 
\begin{array}{rcl} \dfrac{1}{n(n+1)}&=&\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\\\;,\forall\in\mathbb{N^{\ast}} \end{array}, montrer que la suite \left(u_{n}\right) telle que u_{n}=\sigma_{\lim\limits p=1}^{n}\dfrac{1}{p(p+1)} est convergente, et trouver sa limite.
 
b. Montrer que \dfrac{1}{n^{2}}<\dfrac{1}{n(n-1)}\;,\forall n\geq 2. En déduire que la suite \left(v_{n}\right) est majorée, puis qu'elle est convergente.
 
2. On se propose de calculer, ici la limite de la suite \left(v_{n}\right)n\geq 1.
 
On considère \alpha réel tel que 0<\alpha<\dfrac{\pi}{2} et on admet la relation suivante : 
 
\sin(n\alpha)=\sin^{n}(\alpha)\left(C_{n}^{1}\cot^{n-1}(\alpha)-C_{n}^{3}\cot^{n-3}(\alpha)+C_{n}^{5}\cot^{n-5}(\alpha)-\ldots\right), le dernier terme dépendant de la parité de n.
 
On suppose dans la suite que n est impaire et on pose :
 
a. Démontrer que les racines du polynôme : 
 
P(x)=C_{2p+1}^{1}x^{p}-C_{2p+1}^{3}x^{p-1}+C_{2p+1}^{5}x^{p-2}+\ldots+(-1)^{k}C_{2p+1}^{2k+1}x^{p-k}+\ldots+(-1)^{p}
 
Sont : \begin{array}{rcl} x_{k}&=&\cot^{2}\left(\dfrac{k\pi}{2p+1}\right)\\&=&\cot^{2}\left(\dfrac{k\pi}{n}\right)\;,\\ \forall k\in\left(1\;,2\;,\ldots\;,p=\dfrac{n-1}{2}\right)\end{array}
 
b. En déduire que \sigma_{\lim\limits k=1}^{P}x_{k}=\dfrac{1}{6}(n-1)(n-2)
 
c. Sachant que \sin(\alpha)<\alpha<\tan(\alpha)\;,\forall\alpha\in\left]0\;,\dfrac{\pi}{2}\right[ et que \dfrac{1}{\sin^{2}(\alpha)}=1+\cot^{2}(\alpha)
 
montrer que \dfrac{1}{6}(n-1)(n-2)<\dfrac{n^{2}}{\pi^{2}}v_{n}<\dfrac{1}{6}(n-1)(n+1)\;,\forall n\geq 2
 
d. En déduire \lim\limits_{n\longrightarrow+\infty}v_{n} et conclure.
 

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