Correction Série d'exercices : Étude de fonction - 1er L

Classe: 
Première

Exercice 1

 1) a) Vérifier que \(-2\) est une racine du polynôme \(P\) et factoriser \(P(x)\)

Étape 1 : Vérification de la racine

On a \(P(x) = -3x^3 - x^2 + 8x - 4\).

Pour vérifier que \(-2\) est une racine, on calcule \(P(-2)\) :
\[
P(-2) = -3(-2)^3 - (-2)^2 + 8(-2) - 4 = -3(-8) - 4 - 16 - 4 = 24 - 4 - 16 - 4 = 0
\]
Comme \(P(-2) = 0\), \(-2\) est bien une racine de \(P\).

Étape 2 : Factorisation

Puisque \(-2\) est une racine, on peut factoriser \(P(x)\) par \((x + 2)\). Effectuons la division polynomiale ou utilisons la méthode de Horner.

Division polynomiale :

Divisons \(P(x)\) par \((x + 2)\) :

1. \(-3x^3 - x^2 + 8x - 4\) divisé par \(x + 2\).

  • Premier terme : \(-3x^3 / x = -3x^2\)
  • Multiplier : \(-3x^2 \times (x + 2) = -3x^3 - 6x^2\)
  • Soustraire : \((-3x^3 - x^2) - (-3x^3 - 6x^2) = 5x^2\)
  •  Descendre \(8x\) : \(5x^2 + 8x\)

2. \(5x^2 / x = 5x\)

  •  Multiplier : \(5x \times (x + 2) = 5x^2 + 10x\)
  •  Soustraire : \((5x^2 + 8x) - (5x^2 + 10x) = -2x\)
  •  Descendre \(-4\) : \(-2x - 4\)

3. \(-2x / x = -2\)

  •  Multiplier : \(-2 \times (x + 2) = -2x - 4\)
  •  Soustraire : \((-2x - 4) - (-2x - 4) = 0\)

Donc :
\[
P(x) = (x + 2)(-3x^2 + 5x - 2)
\]

Factorisation du trinôme :

Factorisons \(-3x^2 + 5x - 2\) :
\[
-3x^2 + 5x - 2 = - (3x^2 - 5x + 2)
\]
Recherche des racines :
\[
\Delta = 25 - 24 = 1 \Rightarrow x = \frac{5 \pm 1}{6}
\]
Donc \(x_1 = 1\) et \(x_2 = \frac{2}{3}\).

Ainsi :
\[
-3x^2 + 5x - 2 = -3(x - 1)(x - \frac{2}{3}) = - (x - 1)(3x - 2)
\]

Finalement :
\[
P(x) = (x + 2)(- (x - 1)(3x - 2)) = - (x + 2)(x - 1)(3x - 2)
\]

 b) Résoudre \(P(x) = 0\) puis \(P(x) \leq 0\)

Équation \(P(x) = 0\) :
\[
- (x + 2)(x - 1)(3x - 2) = 0 \Rightarrow x = -2, x = 1, x = \frac{2}{3}
\]

Inéquation \(P(x) \leq 0\) :

Multiplions par \(-1\) (en changeant le sens de l'inégalité) :
\[
(x + 2)(x - 1)(3x - 2) \geq 0
\]

Étudions le signe du produit :

  •  Racines : \(-2\), \(\frac{2}{3}\), \(1\)
  •  Tableau de signes :

$$\begin{array}{|c|lcccccr|}
    \hline
    x&-\infty&&-2&&\frac{2}{3}&&1&&+\infty\\
    \hline
    \text{Signe de }x + 2 &&-&|&+&|&+&|&+&\\
    \hline
    \text{Signe de }3x - 2 &&-&|&-&|&+&|&+&\\
    \hline
    \text{Signe de }x - 1 &&-&|&-&|&-&|&+&\\
    \hline
    \text{Signe de }(x + 2)(x - 1)(3x - 2) &&-&|&+&|&-&|&+&\\
    \hline
    \end{array}$$

Solution : \(x \in [-2, \frac{2}{3}] \cup [1, +\infty[\)

Exercice 2

 1) Calculer \(P(3)\) et factoriser \(P(x)\)

Calcul de \(P(3)\) :
\[
P(3) = 6 \times 27 - 17 \times 9 - 3 - 6 = 162 - 153 - 3 - 6 = 0
\]
Donc \(3\) est une racine.

Factorisation :

Divisons \(P(x)\) par \((x - 3)\) :

1. \(6x^3 - 17x^2 - x - 6\) divisé par \(x - 3\).

  •  Premier terme : \(6x^3 / x = 6x^2\)
  •  Multiplier : \(6x^2 \times (x - 3) = 6x^3 - 18x^2\)
  •  Soustraire : \((6x^3 - 17x^2) - (6x^3 - 18x^2) = x^2\)
  •  Descendre \(-x\) : \(x^2 - x\)

2. \(x^2 / x = x\)

  •  Multiplier : \(x \times (x - 3) = x^2 - 3x\)
  •  Soustraire : \((x^2 - x) - (x^2 - 3x) = 2x\)
  •  Descendre \(-6\) : \(2x - 6\)

3. \(2x / x = 2\)

  •  Multiplier : \(2 \times (x - 3) = 2x - 6\)
  •  Soustraire : \((2x - 6) - (2x - 6) = 0\)

Donc :
\[
P(x) = (x - 3)(6x^2 + x + 2)
\]

Factorisation complète :

Le discriminant de \(6x^2 + x + 2\) est :
\[
\Delta = 1 - 48 = -47 < 0
\]
Donc pas de factorisation réelle supplémentaire.

 2) Résoudre \(P(x) = 0\) et \(P(x) \leq 0\)

Équation \(P(x) = 0\) :
\[
(x - 3)(6x^2 + x + 2) = 0 \Rightarrow x = 3
\]

Inéquation \(P(x) \leq 0\) :

Le trinôme \(6x^2 + x + 2\) est toujours positif (\(\Delta < 0\) et coefficient dominant positif). Donc :
\[
(x - 3) \times \text{positif} \leq 0 \Rightarrow x - 3 \leq 0 \Rightarrow x \leq 3
\]

 3) Domaine de définition et simplification de \(f(x)\)

\[
f(x) = \frac{P(x)}{x^2 - 5x + 6} = \frac{(x - 3)(6x^2 + x + 2)}{(x - 2)(x - 3)}
\]

Domaine de définition :
Le dénominateur ne doit pas s'annuler :
\[
x^2 - 5x + 6 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 \text{ et } x \neq 3
\]

Simplification :
\[
f(x) = \frac{6x^2 + x + 2}{x - 2} \quad \text{pour } x \neq 3
\]

Exercice 3

 1) a) Calculer \(f(1)\) et factoriser \(f(x)\)

Calcul de \(f(1)\) :
\[
f(1) = 1 + 1 - 2 = 0
\]

Factorisation :

Divisons \(f(x) = x^3 + x - 2\) par \((x - 1)\) :

1. \(x^3 + 0x^2 + x - 2\) divisé par \(x - 1\).

  •  Premier terme : \(x^3 / x = x^2\)
  • Multiplier : \(x^2 \times (x - 1) = x^3 - x^2\)
  •  Soustraire : \((x^3 + 0x^2) - (x^3 - x^2) = x^2\)
  • Descendre \(x\) : \(x^2 + x\)

2. \(x^2 / x = x\)

  •  Multiplier : \(x \times (x - 1) = x^2 - x\)
  •  Soustraire : \((x^2 + x) - (x^2 - x) = 2x\)
  •  Descendre \(-2\) : \(2x - 2\)

3. \(2x / x = 2\)

  •  Multiplier : \(2 \times (x - 1) = 2x - 2\)
  • Soustraire : \((2x - 2) - (2x - 2) = 0\)

Donc :
\[
f(x) = (x - 1)(x^2 + x + 2)
\]

Factorisation complète :

Le discriminant de \(x^2 + x + 2\) est :
\[
\Delta = 1 - 8 = -7 < 0
\]
Donc pas de factorisation réelle supplémentaire.

 b) Résoudre \(f(x) = 0\)

\[
(x - 1)(x^2 + x + 2) = 0 \Rightarrow x = 1
\]

Exercice 4

 1) Calculer \(P(2)\) et factoriser \(P(x)\)

Calcul de \(P(2)\) :
\[
P(2) = -16 + 4 + 16 - 4 = 0
\]

Factorisation :

Divisons \(P(x) = -2x^3 + x^2 + 8x - 4\) par \((x - 2)\) :

1. \(-2x^3 + x^2 + 8x - 4\) divisé par \(x - 2\).

  •  Premier terme : \(-2x^3 / x = -2x^2\)
  •  Multiplier : \(-2x^2 \times (x - 2) = -2x^3 + 4x^2\)
  •  Soustraire : \((-2x^3 + x^2) - (-2x^3 + 4x^2) = -3x^2\)
  •  Descendre \(8x\) : \(-3x^2 + 8x\)

2. \(-3x^2 / x = -3x\)

  •  Multiplier : \(-3x \times (x - 2) = -3x^2 + 6x\)
  •  Soustraire : \((-3x^2 + 8x) - (-3x^2 + 6x) = 2x\)
  •  Descendre \(-4\) : \(2x - 4\)

3. \(2x / x = 2\)

  •  Multiplier : \(2 \times (x - 2) = 2x - 4\)
  •  Soustraire : \((2x - 4) - (2x - 4) = 0\)

Donc :
\[
P(x) = (x - 2)(-2x^2 - 3x + 2)
\]

Factorisation du trinôme :

Factorisons \(-2x^2 - 3x + 2 = - (2x^2 + 3x - 2)\).

Recherche des racines :
\[
\Delta = 9 + 16 = 25 \Rightarrow x = \frac{-3 \pm 5}{4}
\]
Donc \(x_1 = \frac{1}{2}\) et \(x_2 = -2\).

Ainsi :
\[
-2x^2 - 3x + 2 = -2(x - \frac{1}{2})(x + 2) = - (2x - 1)(x + 2)
\]

Finalement :
\[
P(x) = (x - 2)(- (2x - 1)(x + 2)) = - (x - 2)(2x - 1)(x + 2)
\]

 2) Résoudre \(P(x) = 0\) et \(P(x) \geq 0\)

Équation \(P(x) = 0\) :
\[
- (x - 2)(2x - 1)(x + 2) = 0 \Rightarrow x = -2, x = \frac{1}{2}, x = 2
\]

Inéquation \(P(x) \geq 0\) :

Multiplions par \(-1\) :
\[
(x - 2)(2x - 1)(x + 2) \leq 0
\]

Étudions le signe du produit :

  •  Racines : \(-2\), \(\frac{1}{2}\), \(2\)
  •  Tableau de signes :

$$\begin{array}{|c|lcccccr|}
    \hline
    x&-\infty&&-2&&\frac{1}{2}&&2&&+\infty\\
    \hline
    \text{Signe de }x + 2 &&-&|&+&|&+&|&+&\\
    \hline
    \text{Signe de }2x - 1 &&-&|&-&|&+&|&+&\\
    \hline
    \text{Signe de }x - 2 &&-&|&-&|&-&|&+&\\
    \hline
    \text{Signe de }(x + 2)(2x - 1)(x + 2) &&-&|&+&|&-&|&+&\\
    \hline
    \end{array}$$

Solution : \(x \in ]-\infty, -2] \cup [\frac{1}{2}, 2]\)

 Exercice 5

Domaine de définition :

1. \(f(x) = x^2 + 1\) : Définie sur \(\mathbb{R}\).
2. \(g(x) = \frac{2x + 1}{x - 2}\) : Définie pour \(x \neq 2\), donc \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{2\}\).
3. \(h(x) = \sqrt{x^2 - 4}\) : Définie pour \(x^2 - 4 \geq 0 \Rightarrow x \leq -2\) ou \(x \geq 2\), donc \(D_h = ]-\infty, -2] \cup [2, +\infty[\).

Compositions :

1. \(f \circ g(x) = f(g(x)) = \left(\frac{2x + 1}{x - 2}\right)^2 + 1\)
   - Domaine : \(x \neq 2\), donc \(D_{f \circ g} = \mathbb{R} \setminus \{2\}\).

2. \(f \circ h(x) = f(h(x)) = (\sqrt{x^2 - 4})^2 + 1 = x^2 - 4 + 1 = x^2 - 3\)
   - Domaine : \(D_h\), donc \(D_{f \circ h} = ]-\infty, -2] \cup [2, +\infty[\).

3. \(h \circ f(x) = h(f(x)) = \sqrt{(x^2 + 1)^2 - 4} = \sqrt{x^4 + 2x^2 + 1 - 4} = \sqrt{x^4 + 2x^2 - 3}\)
   - Domaine : \(x^4 + 2x^2 - 3 \geq 0\).
   Posons \(y = x^2\) : \(y^2 + 2y - 3 \geq 0\).
   Racines : \(y = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} \Rightarrow y = 1\) ou \(y = -3\).
   Solution : \(y \leq -3\) ou \(y \geq 1\). Comme \(y = x^2 \geq 0\), on a \(x^2 \geq 1 \Rightarrow x \leq -1\) ou \(x \geq 1\).
   Donc \(D_{h \circ f} = ]-\infty, -1] \cup [1, +\infty[\).

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