Correction Série d'exercices : Dénombrement - Ts

Exercice 1
Pour compléter les tableaux, on utilise les relations entre les cardinaux des ensembles et leurs complémentaires, ainsi que la formule du cardinal de l'union : \(|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|\).

 a)
- Premier tableau :  
  On a \(|E| = 18\), \(|A| = 8\), \(|B| = 6\), \(|A \cap B| = 2\).  
  \(|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 8 + 6 - 2 = 12\).  
  Donc :  
  \[
  \begin{array}{|c|c|c|c|c|}
  \hline
  E & A & B & A \cap B & A \cup B \\
  \hline
  18 & 8 & 6 & 2 & 12 \\
  \hline
  \end{array}
  \]

- Deuxième tableau :  
  \(|\overline{A}| = |E| - |A| = 18 - 8 = 10\),  
  \(|\overline{B}| = |E| - |B| = 18 - 6 = 12\),  
  \(|\overline{A \cap B}| = |E| - |A \cap B| = 18 - 2 = 16\),  
  \(|\overline{A \cup B}| = |E| - |A \cup B| = 18 - 12 = 6\).  
  Donc :  
  \[
  \begin{array}{|c|c|c|c|}
  \hline
  \overline{A} & \overline{B} & \overline{A \cap B} & \overline{A \cup B} \\
  \hline
  10 & 12 & 16 & 6 \\
  \hline
  \end{array}
  \]

 b)
- Premier tableau :  
  On a \(|E| = 100\), \(|A| = 75\).  
  D'après le deuxième tableau, \(|\overline{B}| = 50\) et \(|\overline{A \cap B}| = 75\).  
  \(|\overline{B}| = |E| - |B| \implies |B| = 100 - 50 = 50\),  
  \(|\overline{A \cap B}| = |E| - |A \cap B| \implies |A \cap B| = 100 - 75 = 25\).  
  \(|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 75 + 50 - 25 = 100\).  
  Donc :  
  \[
  \begin{array}{|c|c|c|c|c|}
  \hline
  E & A & B & A \cap B & A \cup B \\
  \hline
  100 & 75 & 50 & 25 & 100 \\
  \hline
  \end{array}
  \]

- Deuxième tableau :  
  \(|\overline{A}| = |E| - |A| = 100 - 75 = 25\),  
  \(|\overline{B}| = 50\) (donné),  
  \(|\overline{A \cap B}| = 75\) (donné),  
  \(|\overline{A \cup B}| = |E| - |A \cup B| = 100 - 100 = 0\).  
  Donc :  
  \[
  \begin{array}{|c|c|c|c|}
  \hline
  \overline{A} & \overline{B} & \overline{A \cap B} & \overline{A \cup B} \\
  \hline
  25 & 50 & 75 & 0 \\
  \hline
  \end{array}
  \]

 c)
- Premier tableau :  
  On a \(|E| = 53\), \(|B| = 34\).  
  D'après le deuxième tableau, \(|\overline{A}| = 23\) et \(|\overline{A \cup B}| = 8\).  
  \(|\overline{A}| = |E| - |A| \implies |A| = 53 - 23 = 30\),  
  \(|\overline{A \cup B}| = |E| - |A \cup B| \implies |A \cup B| = 53 - 8 = 45\).  
  \(|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B| = 30 + 34 - 45 = 19\).  
  Donc :  
  \[
  \begin{array}{|c|c|c|c|c|}
  \hline
  E & A & B & A \cap B & A \cup B \\
  \hline
  53 & 30 & 34 & 19 & 45 \\
  \hline
  \end{array}
  \]

- Deuxième tableau :  
  \(|\overline{A}| = 23\) (donné),  
  \(|\overline{B}| = |E| - |B| = 53 - 34 = 19\),  
  \(|\overline{A \cap B}| = |E| - |A \cap B| = 53 - 19 = 34\),  
  \(|\overline{A \cup B}| = 8\) (donné).  
  Donc :  
  \[
  \begin{array}{|c|c|c|c|}
  \hline
  \overline{A} & \overline{B} & \overline{A \cap B} & \overline{A \cup B} \\
  \hline
  23 & 19 & 34 & 8 \\
  \hline
  \end{array}
  \]

 a)  \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline E & A & B & A\cap B & A\cup B \\ \hline 18 & 8 & 6 & 2 & 12 \\ \hline \end{array}

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \overline{A} & \overline{B} & \overline{A\cap B} & \overline{A\cup B} \\ \hline 10 & 12 & 16 & 6 \\ \hline \end{array}

b) \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline E & A & B & A\cap B & A\cup B \\ \hline 100 & 75 & 50 & 25 & 100 \\ \hline \end{array}
 \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \overline{A} & \overline{B} & \overline{A\cap B} & \overline{A\cup B} \\ \hline 25 & 50 & 75 & 0 \\ \hline \end{array} 
c) \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline E & A & B & A\cap B & A\cup B \\ \hline 53 & 30 & 34 & 19 & 45 \\ \hline \end{array} 
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \overline{A} & \overline{B} & \overline{A\cap B} & \overline{A\cup B} \\ \hline 23 & 19 & 34 & 8 \\ \hline \end{array}