Correction Série d'exercices : Suites Numériques - 1er L

Exercice 1

1) Calculer \( U_{0} \), \( U_{1} \) et \( U_{2} \).

La suite est définie par \( U_n = 5 - 2n \).

•  \( U_0 = 5 - 2 \times 0 = 5 \)
•  \( U_1 = 5 - 2 \times 1 = 3 \)
•  \( U_2 = 5 - 2 \times 2 = 1 \)

Réponse :
\[
U_0 = \boxed{5}, \quad U_1 = \boxed{3}, \quad U_2 = \boxed{1}
\]

2) Démontrer que \( \left(U_{n}\right) \) est une suite arithmétique dont on précisera la raison.

Pour montrer que \( (U_n) \) est arithmétique, on calcule la différence entre deux termes consécutifs :
\[
U_{n+1} - U_n = \left(5 - 2(n+1)\right) - \left(5 - 2n\right) = -2
\]
La différence est constante, donc la suite est arithmétique de raison \( r = -2 \).

Réponse :
La suite est arithmétique de raison \(\boxed{-2}\).

3) Que vaut \( U_{100} \) ? Calculer la somme \( S = U_0 + U_1 + \ldots + U_{100} \).

- Calcul de \( U_{100} \):
\[
U_{100} = 5 - 2 \times 100 = 5 - 200 = -195
\]

- Calcul de la somme \( S \):
La somme des termes d'une suite arithmétique est donnée par :
\[
S = \frac{\text{Nombre de termes} \times (\text{Premier terme} + \text{Dernier terme})}{2}
\]
Ici, il y a \( 101 \) termes (de \( U_0 \) à \( U_{100} \)), donc :
\[
S = \frac{101 \times (5 + (-195))}{2} = \frac{101 \times (-190)}{2} = 101 \times (-95) = -9595
\]

Réponse :
\[
U_{100} = \boxed{-195}, \quad S = \boxed{-9595}
\]

Exercice 2

1) Calculer \( U_{0} \), \( U_{1} \) et \( U_{2} \).

La suite est définie par \( U_n = (n+1)^2 - n^2 \).

•  \( U_0 = (0+1)^2 - 0^2 = 1 - 0 = 1 \)
•  \( U_1 = (1+1)^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3 \)
•  \( U_2 = (2+1)^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5 \)

Réponse :
\[
U_0 = \boxed{1}, \quad U_1 = \boxed{3}, \quad U_2 = \boxed{5}
\]

2) La suite \( \left(U_{n}\right) \) est-elle arithmétique ? Si oui préciser sa raison.

Calculons la différence entre deux termes consécutifs :
\[
U_{n+1} - U_n = \left((n+2)^2 - (n+1)^2\right) - \left((n+1)^2 - n^2\right) = \left(2n + 3\right) - \left(2n + 1\right) = 2
\]
La différence est constante, donc la suite est arithmétique de raison \( r = 2 \).

Réponse :
La suite est arithmétique de raison \(\boxed{2}\).

3) Que vaut \( U_{99} \) ? Calculer la somme \( S = 1 + 3 + 5 + \ldots + 199 \).

- Calcul de \( U_{99} \):
\[
U_{99} = (99+1)^2 - 99^2 = 100^2 - 99^2 = 10000 - 9801 = 199
\]

- Calcul de la somme \( S \):
La somme \( S \) correspond à la somme des 100 premiers termes impairs (car \( U_0 = 1 \), \( U_1 = 3 \), ..., \( U_{99} = 199 \)).

La somme des \( n \) premiers termes impairs est connue pour être égale à \( n^2 \). Donc :
\[
S = 100^2 = 10000
\]

Réponse :
\[
U_{99} = \boxed{199}, \quad S = \boxed{10000}
\]

Exercice 3

1) Calculer \( U_{1} \), \( U_{2} \) et \( U_{3} \).

La suite est définie par \( U_{n+1} = U_n + \frac{1}{2} \) avec \( U_0 = 0 \).

- \( U_1 = U_0 + \frac{1}{2} = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \)
- \( U_2 = U_1 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \)
- \( U_3 = U_2 + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \)

Réponse :
\[
U_1 = \boxed{\dfrac{1}{2}}, \quad U_2 = \boxed{1}, \quad U_3 = \boxed{\dfrac{3}{2}}
\]

2) Justifier que \( \left(U_{n}\right) \) est une suite arithmétique dont on précisera la raison.

La relation de récurrence est \( U_{n+1} = U_n + \frac{1}{2} \), ce qui montre que la différence entre deux termes consécutifs est constante (\( \frac{1}{2} \)). Donc la suite est arithmétique de raison \( r = \frac{1}{2} \).

Réponse :
La suite est arithmétique de raison \(\boxed{\dfrac{1}{2}}\).

3) Que vaut \( U_{100} \) ?

Le terme général d'une suite arithmétique est :
\[
U_n = U_0 + n \times r = 0 + n \times \frac{1}{2} = \frac{n}{2}
\]
Donc :
\[
U_{100} = \frac{100}{2} = 50
\]

Réponse :
\[
U_{100} = \boxed{50}
\]

4) Étudier la convergence de la suite \( \left(U_{n}\right) \).

La suite est arithmétique de raison \( r = \frac{1}{2} > 0 \). Comme la raison est positive, la suite diverge vers \( +\infty \).

Réponse :
La suite diverge vers \(\boxed{+\infty}\).

Exercice 4

La suite \( \left(U_{n}\right) \) est arithmétique de raison \( r = 8 \). On sait que \( U_{100} = 650 \). Que vaut \( U_0 \) ?

Le terme général d'une suite arithmétique est :
\[
U_n = U_0 + n \times r
\]
Donc :
\[
U_{100} = U_0 + 100 \times 8 = 650 \implies U_0 + 800 = 650 \implies U_0 = 650 - 800 = -150
\]

Réponse :
\[
U_0 = \boxed{-150}
\]

Exercice 5

Calculer la somme \( S = 1 + 2 + 3 + \ldots + 999 \).

C'est la somme des 999 premiers entiers naturels non nuls. La formule est :
\[
S = \frac{n(n+1)}{2} = \frac{999 \times 1000}{2} = 499500
\]

Réponse :
\[
S = \boxed{499500}
\]

Exercice 6

1) Calculer la raison \( r \) et \( U_0 \).

On a :
\[
\begin{cases}
U_{50} = U_0 + 50r = 406 \\
U_{100} = U_0 + 100r = 806
\end{cases}
\]
En soustrayant les deux équations :
\[
(U_0 + 100r) - (U_0 + 50r) = 806 - 406 \implies 50r = 400 \implies r = 8
\]
Puis :
\[
U_0 = 406 - 50 \times 8 = 406 - 400 = 6
\]

Réponse :
\[
r = \boxed{8}, \quad U_0 = \boxed{6}
\]

2) Calculer la somme \( S = U_{50} + U_{51} + \ldots + U_{100} \).

Il y a \( 100 - 50 + 1 = 51 \) termes. La somme est :
\[
S = \frac{\text{Nombre de termes} \times (\text{Premier terme} + \text{Dernier terme})}{2} = \frac{51 \times (406 + 806)}{2} = \frac{51 \times 1212}{2} = 51 \times 606 = 30906
\]

Réponse :
\[
S = \boxed{30906}
\]

Exercice 7

1) Calculer \( V_1 \), \( V_3 \) et \( V_4 \).

La suite est géométrique avec \( V_1 = 1 \) et \( q = -2 \).

- \( V_1 = 1 \)
- \( V_2 = V_1 \times q = 1 \times (-2) = -2 \)
- \( V_3 = V_2 \times q = -2 \times (-2) = 4 \)
- \( V_4 = V_3 \times q = 4 \times (-2) = -8 \)

Réponse :
\[
V_1 = \boxed{1}, \quad V_3 = \boxed{4}, \quad V_4 = \boxed{-8}
\]

2) Calculer \( V_{20} \).

Le terme général d'une suite géométrique est :
\[
V_n = V_1 \times q^{n-1} = 1 \times (-2)^{n-1}
\]
Donc :
\[
V_{20} = (-2)^{19} = -2^{19} = -524288
\]

Réponse :
\[
V_{20} = \boxed{-524288}
\]

3) Calculer la somme \( S = V_1 + V_2 + \ldots + V_{20} \).

La somme des \( n \) premiers termes d'une suite géométrique est :
\[
S = V_1 \times \frac{1 - q^n}{1 - q} = 1 \times \frac{1 - (-2)^{20}}{1 - (-2)} = \frac{1 - 2^{20}}{3} = \frac{1 - 1048576}{3} = \frac{-1048575}{3} = -349525
\]

Réponse :
\[
S = \boxed{-349525}
\]

Calculer les sommes suivantes :

a) \( S_1 = 1 + 3 + 9 + 27 + \ldots + 59049 \).

C'est une suite géométrique de premier terme \( 1 \) et raison \( 3 \). Le dernier terme est \( 3^{10} = 59049 \) (car \( 3^{10} = 59049 \)).

Il y a donc \( 11 \) termes (de \( 3^0 \) à \( 3^{10} \)).

La somme est :
\[
S_1 = \frac{1 \times (3^{11} - 1)}{3 - 1} = \frac{177147 - 1}{2} = \frac{177146}{2} = 88573
\]

Réponse :
\[
S_1 = \boxed{88573}
\]

b) \( S_2 = 1 + 3 + 5 + \ldots + 999 \).

C'est une suite arithmétique de raison \( 2 \). Le nombre de termes est :
\[
n = \frac{999 - 1}{2} + 1 = 500
\]
La somme est :
\[
S_2 = \frac{500 \times (1 + 999)}{2} = 500 \times 500 = 250000
\]

Réponse :
\[
S_2 = \boxed{250000}
\]

Exercice 8

1) Calculer le capital \( C_1 \) obtenu au bout d'un an.

Le capital augmente de \( 3\% \) par an :
\[
C_1 = C_0 \times (1 + 0,03) = 150000 \times 1,03 = 154500 \text{ F}
\]

Réponse :
\[
C_1 = \boxed{154500 \text{ F}}
\]

2) Calculer le capital \( C_7 \) obtenu au bout de 7 ans.

Le capital suit une suite géométrique de raison \( 1,03 \):
\[
C_7 = C_0 \times (1,03)^7 \approx 150000 \times 1,22987 \approx 184480,50 \text{ F}
\]

Le pourcentage d'augmentation sur 7 ans est :
\[
(1,03)^7 - 1 \approx 0,22987 \text{ soit } 22,987\%
\]

Réponse :
\[
C_7 \approx \boxed{184480,50 \text{ F}}, \quad \text{Augmentation d'environ } \boxed{22,99\%}
\]

3) Combien d'années faut-il laisser cet argent sur le compte afin d'avoir un capital d'au moins 200 000 F ?

On cherche \( n \) tel que :
\[
150000 \times (1,03)^n \geq 200000 \implies (1,03)^n \geq \frac{200000}{150000} = \frac{4}{3}
\]
En prenant le logarithme :
\[
n \ln(1,03) \geq \ln\left(\frac{4}{3}\right) \implies n \geq \frac{\ln(4/3)}{\ln(1,03)} \approx \frac{0,287682}{0,029559} \approx 9,73
\]
Il faut donc attendre \( 10 \) ans.

Réponse :
\[
n = \boxed{10 \text{ années}}
\]