Correction Série d'exercices : Suites Numériques - TL

Exercice 1

 1. Suite arithmétique avec raison $r = 5$ et $U_{80} = 393$

Données :

• Raison $r = 5$
•  $U_{80} = 393$

Formule du terme général :
$$U_n = U_1 + (n - 1) \times r$$

Calcul de $U_1$ :
$$U_{80} = U_1 + (80 - 1) \times 5 = U_1 + 79 \times 5 = U_1 + 395$$
$$393 = U_1 + 395 \implies U_1 = 393 - 395 = -2$$

Calcul de la somme $S_{80}$ :
$$S_n = \frac{n}{2} \times (U_1 + U_n)$$
$$S_{80} = \frac{80}{2} \times (-2 + 393) = 40 \times 391 = 15\,640$$

Réponses :

•  $U_1 = \boxed{-2}$
• $S_{80} = \boxed{15\,640}$

 2. Déterminer le premier terme et la raison avec $U_5 = 17$ et $U_7 = 21$

Données :

•  $U_5 = 17$
• $U_7 = 21$

Formule du terme général :
$$U_n = U_3 + (n - 3) \times r \quad \text{(car la suite est définie pour \( n \geq 3 \))}$$

Système d'équations :
$$\begin{cases} U_5 = U_3 + 2r = 17 \\ U_7 = U_3 + 4r = 21 \end{cases}$$

Soustraction des deux équations :
$$(U_3 + 4r) - (U_3 + 2r) = 21 - 17 \implies 2r = 4 \implies r = 2$$

Calcul de $U_3$ :
$$U_3 + 2 \times 2 = 17 \implies U_3 = 17 - 4 = 13$$

Réponses :

• Premier terme $U_3 = \boxed{13}$
• Raison $r = \boxed{2}$

 3. Suite arithmétique avec $U_1 = 5$, $U_n = -16$ et $S_n = -38.5$

Données :

•  $U_1 = 5$
• $U_n = -16$
• $S_n = -38.5$

Formule du terme général :
$$U_n = U_1 + (n - 1) \times r \implies -16 = 5 + (n - 1) \times r$$
$$(n - 1) \times r = -21 \quad \text{(1)}$$

Formule de la somme :
$$S_n = \frac{n}{2} \times (U_1 + U_n) \implies -38.5 = \frac{n}{2} \times (5 - 16)$$
$$-38.5 = \frac{n}{2} \times (-11) \implies -38.5 = -5.5 \times n \implies n = \frac{-38.5}{-5.5} = 7$$

Calcul de la raison $r$ :
$$n = 7 \implies (7 - 1) \times r = -21 \implies 6r = -21 \implies r = -3.5$$

Réponses :

• $n = \boxed{7}$
• $r = \boxed{-3.5}$

 4. Suite géométrique avec $U_0 = 4$ et $q = \frac{1}{3}$

Données :

• $U_0 = 4$
• $q = \frac{1}{3}$

Calcul de $U_6$ :
$$U_n = U_0 \times q^n \implies U_6 = 4 \times \left(\frac{1}{3}\right)^6 = 4 \times \frac{1}{729} = \frac{4}{729}$$

Calcul de $S_6$ :
$$S_n = U_0 \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \implies S_6 = 4 \times \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^7}{1 - \frac{1}{3}} = 4 \times \frac{1 - \frac{1}{2187}}{\frac{2}{3}} = 4 \times \frac{2186}{2187} \times \frac{3}{2} = 4 \times \frac{3279}{2187} \approx 6$$

Réponses :

• $U_6 = \boxed{\dfrac{4}{729}}$

$S_6 \approx \boxed{6}$ (arrondi à l'entier le plus proche)

 5. Suite géométrique avec $U_1 = 2$ et $S_4 = 2 + U_2 + U_3 + U_4$

Données :

•  $U_1 = 2$
•  $S_4 = U_1 + U_2 + U_3 + U_4$

Formule de la somme :
$$S_n = U_1 \times \frac{1 - q^n}{1 - q}$$
$$S_4 = 2 \times \frac{1 - q^4}{1 - q}$$

Information manquante : Il manque une donnée pour déterminer $q$. Supposons que $S_4$ est donné (par exemple, $S_4 = 10$), mais ici ce n'est pas précisé. Donc, on ne peut pas déterminer $q$ sans information supplémentaire.

Réponse :

• Impossible de déterminer $q$ et $S_4$ sans donnée supplémentaire.

Exercice 2

 1. Consommation avec diminution annuelle de 8%


Données :

• $U_0 = 100$ (millions de tonnes)
• Diminution annuelle de 8%, donc $q = 1 - 0.08 = 0.92$

Calcul de $U_1$ et $U_2$ :
$$U_1 = U_0 \times q = 100 \times 0.92 = 92 \text{ (en 1987)}$$
$$U_2 = U_1 \times q = 92 \times 0.92 = 84.64 \text{ (en 1988)}$$

Formule générale :
$$U_n = U_0 \times q^n = 100 \times (0.92)^n$$

Réponses :

•  $U_1 = \boxed{92}$ millions de tonnes
• $U_2 = \boxed{84.64}$ millions de tonnes
•  $U_n = \boxed{100 \times (0.92)^n}$

 2. Année où $U_n < 1$

Résolution de l'inéquation :
$$100 \times (0.92)^n < 1 \implies (0.92)^n < 0.01$$
$$n \ln(0.92) < \ln(0.01) \implies n > \frac{\ln(0.01)}{\ln(0.92)} \approx \frac{-4.605}{-0.0834} \approx 55.2$$

Année correspondante :
$$1986 + 56 = 2042$$

Réponse :

• La consommation sera inférieure à 1 million de tonnes en $\boxed{2042}$.

 3. Pourcentage de diminution pour atteindre 1 million en 20 ans

Données :

•  $U_{20} = 1$
• $U_0 = 100$

Résolution :
$$100 \times q^{20} = 1 \implies q^{20} = 0.01 \implies q = (0.01)^{1/20} \approx e^{\frac{\ln(0.01)}{20}} \approx e^{-0.2303} \approx 0.794$$

Pourcentage de diminution :
$$1 - q \approx 1 - 0.794 = 0.206 \text{ soit } 20.6\%$$

Réponse :

•  Le pourcentage de diminution annuelle doit être d'environ $\boxed{20.6\%}$.

Exercice 3

 1. Naissances et décès en 1991 et 1992

Données :

•  Naissances en 1990 : $N_0 = 1000$, augmentation de 8% par an.
• Décès en 1990 : $D_0 = 900$, augmentation de 2% par an.

Calculs :

•  Naissances :

  $$N_1 = 1000 \times 1.08 = 1080 \text{ (en 1991)}$$
  $$N_2 = 1080 \times 1.08 = 1166.4 \approx 1166 \text{ (en 1992)}$$

•  Décès :

  $$D_1 = 900 \times 1.02 = 918 \text{ (en 1991)}$$
  $$D_2 = 918 \times 1.02 = 936.36 \approx 936 \text{ (en 1992)}$$

Réponses :

•  Naissances en 1991 : $\boxed{1080}$ ; en 1992 : $\boxed{1166}$
•  Décès en 1991 : $\boxed{918}$ ; en 1992 : $\boxed{936}$

 2. Naissances et décès en 2050

Nombre d'années :
$$2050 - 1990 = 60 \text{ ans}$$

Calculs :

• Naissances :

  $$N_{60} = 1000 \times (1.08)^{60} \approx 1000 \times 101.257 \approx 101\,257$$

•  Décès :

  $$D_{60} = 900 \times (1.02)^{60} \approx 900 \times 3.281 \approx 2\,953$$

Réponses :

• Naissances en 2050 : $\boxed{101\,257}$
• Décès en 2050 : $\boxed{2\,953}$

 3. Total des naissances et décès de 1990 à 1999

Nombre d'années : 10 ans (de 1990 à 1999 inclus)

Calculs :

• Naissances :

  $$S_N = 1000 \times \frac{(1.08)^{10} - 1}{1.08 - 1} \approx 1000 \times \frac{2.1589 - 1}{0.08} \approx 1000 \times 14.486 \approx 14\,486$$

• Décès :

  $$S_D = 900 \times \frac{(1.02)^{10} - 1}{1.02 - 1} \approx 900 \times \frac{1.21899 - 1}{0.02} \approx 900 \times 10.9495 \approx 9\,855$$

Réponses :

• Total des naissances : $\boxed{14\,486}$
• Total des décès : $\boxed{9\,855}$

 4. Année où le nombre de naissances double celui des décès

Résolution de l'inéquation :
$$1000 \times (1.08)^n > 2 \times 900 \times (1.02)^n$$
$$\left(\frac{1.08}{1.02}\right)^n > 1.8 \implies n \ln\left(\frac{1.08}{1.02}\right) > \ln(1.8)$$
$$n > \frac{\ln(1.8)}{\ln(1.08) - \ln(1.02)} \approx \frac{0.5878}{0.07696 - 0.01980} \approx \frac{0.5878}{0.05716} \approx 10.28$$

Année correspondante :
$$1990 + 11 = 2001$$

Réponse :

• À partir de $\boxed{2001}$, le nombre de naissances aura doublé celui des décès.