Corrigé devoir n° 3 maths - 4e

 

Sur la figure ci-dessous on a représenté la position de cinq (5) villages $A\;,\ B\;,\ C\;,\ E\ $ et $\ F$

 

Le village $E$ est à équidistant des villages $A\ $ et $\ C.$

 

Le village $F$ est à équidistant des villages $B\ $ et $\ C.$

Au départ de $A$, Amadou a mis une demi-heure pour rejoindre le village $B$ avec une vitesse de $2\;m.s^{-1}$

 

Au même moment, Badou part du village $E$ pour rejoindre le village $F$, à la même vitesse.

 

1) Calculons la distance qui sépare les villages $A\ $ et $\ B.$

 

Soit : $D_{A\leftrightarrow B}$ la la distance qui sépare les villages $A\ $ et $\ B.$

 

Alors, on a : $D_{A\leftrightarrow B}=v\times t$ avec $v$ vitesse et $t$ le temps mis.

 

On sait que $t=30\;mn$

 

Or, $1\;mn=60\;s$ donc, en convertissant le temps mis en seconde, on obtient :

 

$t=30\times 60=1\,800\;s$

 

Par suite,

 

$\begin{array}{rcl} D_{A\leftrightarrow B}&=&2\times 1\,800\\\\&=&3\,600 \end{array}$

 

D'où, $\boxed{D_{A\leftrightarrow B}=3\,600\;m=3.6\;km}$

 

2) Calculons le temps mis par Badou pour rejoindre le village $F.$

 

On sait que : $D_{E\leftrightarrow F}=v\times t$

 

Or, $D_{E\leftrightarrow F}=\dfrac{D_{A\leftrightarrow B}}{2}$

 

Donc, en remplaçant, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl}\dfrac{D_{A\leftrightarrow B}}{2}=v\times t&\Rightarrow&t=\dfrac{D_{A\leftrightarrow B}}{2v}\\\\&\Rightarrow&t=\dfrac{3\,600}{2\times 2}\\\\&\Rightarrow&t=\dfrac{3\,600}{4}\\\\&\Rightarrow&t=900\end{array}$

 

D'où, $\boxed{t=900\;s=15\;mn}$

 

Ainsi, Badou a mis un quart d'heur pour rejoindre le village $F.$

 

3) Énonçons la propriété géométrique utilisée.

 

Dans un triangle le segment qui joint les milieux des deux côtés quelconques a pour longueur la moitié de la longueur du troisième côté.

 

D'où, $D_{E\leftrightarrow F}=\dfrac{D_{A\leftrightarrow B}}{2}$

1) Développons, réduisons et ordonnons les expressions suivantes.

 

$F=\left(\dfrac{5x}{2}-9\right)^{2}\quad G=\left(\dfrac{4x}{9}-\dfrac{2}{5}\right)\left(\dfrac{4x}{9}+\dfrac{2}{5}\right)\quad I=\left(5\dfrac{x}{3}-\dfrac{1}{2}\right)^{2}$ 

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} F&=&\left(\dfrac{5x}{2}-9\right)^{2}\\\\&=&\left(\dfrac{5x}{2}\right)^{2}-2\times 9\times\left(\dfrac{5x}{2}\right)+9^{2}\\\\&=&\dfrac{25x^{2}}{4}-\dfrac{90x}{2}+81\\\\&=&\dfrac{25}{4}x^{2}-45x+81\end{array}$

 

Alors, $\boxed{F=\dfrac{25}{4}x^{2}-45x+81}$

 

Soit : 

 

$\begin{array}{rcl} G&=&\left(\dfrac{4x}{9}-\dfrac{2}{5}\right)\left(\dfrac{4x}{9}+\dfrac{2}{5}\right)\\\\&=&\left(\dfrac{4x}{9}\right)^{2}-\left(\dfrac{2}{5}\right)^{2}\\\\&=&\dfrac{16x^{2}}{81}-\dfrac{4}{25}\\\\&=&\dfrac{16}{81}x^{2}-\dfrac{4}{25}\end{array}$

 

Donc, $\boxed{G=\dfrac{16}{81}x^{2}-\dfrac{4}{25}}$

 

On a : 

 

$\begin{array}{rcl} I&=&\left(5\dfrac{x}{3}-\dfrac{1}{2}\right)^{2}\\\\&=&\left(\dfrac{5x}{3}\right)^{2}-2\times\left(\dfrac{5x}{3}\right)\times\left(\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}\\\\&=&\dfrac{25x^{2}}{9}-\dfrac{10x}{6}+\dfrac{1}{4}\\\\&=&\dfrac{25}{9}x^{2}-\dfrac{5}{3}x+\dfrac{1}{4}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{I=\dfrac{25}{9}x^{2}-\dfrac{5}{3}x+\dfrac{1}{4}}$

 

2) Factorisons les expressions suivantes.

 

$E=\left(\dfrac{4x}{5}-\dfrac{1}{7}\right)^{2}-\left(\dfrac{2x}{5}+\dfrac{1}{2}\right)^{2}\quad F=\left(2x-\dfrac{2}{3}\right)^{2}-9\left(\dfrac{3}{2}x+1\right)^{2}$ 

 

Soit :

 

$\begin{array}{rcl} E&=&\left(\dfrac{4x}{5}-\dfrac{1}{7}\right)^{2}-\left(\dfrac{2x}{5}+\dfrac{1}{2}\right)^{2}\\\\&=&\left[\left(\dfrac{4x}{5}-\dfrac{1}{7}\right)-\left(\dfrac{2x}{5}+\dfrac{1}{2}\right)\right]\left[\left(\dfrac{4x}{5}-\dfrac{1}{7}\right)+\left(\dfrac{2x}{5}+\dfrac{1}{2}\right)\right]\\\\&=&\left(\dfrac{4x}{5}-\dfrac{1}{7}-\dfrac{2x}{5}-\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{4x}{5}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{2x}{5}+\dfrac{1}{2}\right)\\\\&=&\left(\dfrac{2x}{5}-\dfrac{2}{14}-\dfrac{7}{14}\right)\left(\dfrac{6x}{5}-\dfrac{2}{14}+\dfrac{7}{14}\right)\\\\&=&\left(\dfrac{2}{5}x-\dfrac{9}{14}\right)\left(\dfrac{6}{5}x+\dfrac{5}{14}\right)\end{array}$

 

Donc, $\boxed{E=\left(\dfrac{2}{5}x-\dfrac{9}{14}\right)\left(\dfrac{6}{5}x+\dfrac{5}{14}\right)}$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} F&=&\left(2x-\dfrac{2}{3}\right)^{2}-9\left(\dfrac{3}{2}x+1\right)^{2}\\\\&=&\left(2x-\dfrac{2}{3}\right)^{2}-\left(3\left(\dfrac{3}{2}x+1\right)\right)^{2}\\\\&=&\left[\left(2x-\dfrac{2}{3}\right)-3\left(\dfrac{3}{2}x+1\right)\right]\left[\left(2x-\dfrac{2}{3}\right)+3\left(\dfrac{3}{2}x+1\right)\right]\\\\&=&\left(2x-\dfrac{2}{3}-\dfrac{9}{2}x-3\right)\left(2x-\dfrac{2}{3}+\dfrac{9}{2}x+3\right)\\\\&=&\left(\dfrac{4}{2}x-\dfrac{9}{2}x-\dfrac{2}{3}-\dfrac{9}{3}\right)\left(\dfrac{4}{2}x+\dfrac{9}{2}x-\dfrac{2}{3}+\dfrac{9}{3}\right)\\\\&=&\left(-\dfrac{5}{2}x-\dfrac{11}{3}\right)\left(\dfrac{13}{2}x+\dfrac{7}{3}\right)\end{array}$

 

D'où, $\boxed{F=\left(-\dfrac{5}{2}x-\dfrac{11}{3}\right)\left(\dfrac{13}{2}x+\dfrac{7}{3}\right)}$