Corrigé Exercice 1 : Équations et inéquations du 1er degré à une inconnue 3e

 

Nous allons résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes : 

 

a) $7x-1=5x-5$ si, et seulement si, $7x-5x=1-5$

 

Donc, $2x=-4$

 

Ce qui donne alors, $x=\dfrac{-4}{2}=-2$

 

D'où,

$$S=\{-2\}$$

b) $2x-3=\dfrac{3}{2}x+3$ alors, $2x-\dfrac{3}{2}x=3+3=6$

 

Or, 

 

$\begin{array}{rcl} 2x-\dfrac{3}{2}x&=&\dfrac{4x}{2}-\dfrac{3x}{2}\\ \\&=&\dfrac{4x-3x}{2}\\ \\&=&\dfrac{x}{2}\end{array}$  

 

Donc, $\dfrac{x}{2}=6$

 

Ce qui entraine : $x=2\times 6=12$

 

D'où, $$S=\{12\}$$

c) $x\sqrt{2}-1=\sqrt{2}+x$ si, et seulement si, $x\sqrt{2}-x=\sqrt{2}+1$

 

Donc, $x(\sqrt{2}-1)=\sqrt{2}+1$

 

Ce qui donne : $x=\dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$

 

En rendant rationnel le dénominateur, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} x&=&\dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\\ \\&=&\dfrac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}\\ \\&=&\dfrac{(\sqrt{2}+1)^{2}}{(\sqrt{2})^{2}-(1)^{2}}\\ \\&=&\dfrac{2+2\sqrt{2}+1}{2-1}\\ \\&=&3+2\sqrt{2}\end{array}$

 

Ainsi, $$S=\{3+2\sqrt{2}\}$$