Corrigé Exercice 1 : Calcul algébrique 3e

 

1) Nous allons développer, réduire puis ordonner les expressions suivantes en utilisant les propriétés des identités remarquables.

 

Soit : $A=(2x+3)^{2}$

 

$A$ est de la forme $(a+b)^{2}$ avec ; $a=2x\ $ et $\ b=3$

 

Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :

$$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$$

Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} A&=&(2x+3)^{2}\\\\&=&(2x)^{2}+2\times 2x\times 3+3^{2}\\\\&=&4x^{2}+12x+9\end{array}$

 

D'où, $\boxed{A=4x^{2}+12x+9}$

 

Soit : $B=\left(\dfrac{2}{3}x+\dfrac{3}{4}\right)^{2}.$

 

Alors, $B$ est de la forme $(a+b)^{2}$ avec ; $a=\dfrac{2}{3}x\ $ et $\ b=\dfrac{3}{4}.$

 

Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :

$$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$$

Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} B&=&\left(\dfrac{2}{3}x+\dfrac{3}{4}\right)^{2}\\\\&=&\left(\dfrac{2}{3}x\right)^{2}+2\times\dfrac{2}{3}x\times\dfrac{3}{4}+\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}\\\\&=&\dfrac{4}{9}x^{2}+\dfrac{12}{12}x+\dfrac{9}{16}\\\\&=&\dfrac{4}{9}x^{2}+x+\dfrac{9}{16}\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{B=\dfrac{4}{9}x^{2}+x+\dfrac{9}{16}}$

 

Soit : $C=\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^{2}$

 

On remarque que $C$ est de la forme $(a-b)^{2}$ avec ; $a=x\ $ et $\ b=\dfrac{1}{3}.$

 

Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :

$$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$$

Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} C&=&\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^{2}\\\\&=&x^{2}-2\times x\times\dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}\\\\&=&x^{2}-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{9}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{C=x^{2}-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{9}}$

 

Soit : $D=\left(7x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}$

 

Alors, $D$ est de la forme $(a-b)^{2}$ avec ; $a=7x\ $ et $\ b=\dfrac{1}{2}$

 

Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :

$$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$$

Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} D&=&\left(7x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}\\\\&=&(7x)^{2}-2\times 7x\times\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}\\\\&=&49x^{2}-\dfrac{14}{2}x+\dfrac{1}{4}\\\\&=&49x^{2}-7x+\dfrac{1}{4}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{D=49x^{2}-7x+\dfrac{1}{4}}$

 

Soit : $E=(3x-4)(3x+4)$

 

On remarque alors que $E$ est de la forme $(a-b)(a+b)$ avec ; $a=3x\ $ et $\ b=4$

 

Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :

$$(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$$

Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} E&=&(3x-4)(3x+4)\\\\&=&(3x)^{2}-(4)^{2}\\\\&=&9x^{2}-16\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{E=9x^{2}-16}$

 

Soit : $F=\left(\dfrac{2}{3}x+1\right)\left(\dfrac{2}{3}x-1\right)$

 

$F$ est de la forme $(a+b)(a-b)$ avec ; $a=\dfrac{2}{3}x\ $ et $\ b=1$

 

Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :

$$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$$

Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} F&=&\left(\dfrac{2}{3}x+1\right)\left(\dfrac{2}{3}x-1\right)\\\\&=&\left(\dfrac{2}{3}x\right)^{2}-1^{2}\\\\&=&\dfrac{4}{9}x^{2}-1\end{array}$

 

D'où, $\boxed{F=\dfrac{4}{9}x^{2}-1}$

 

2) Factorisons les expressions suivantes en utilisant les propriétés des identités remarquables.

 

Soit : $A=9x^{2}+6x+1$

 

On remarque que $A$ est de la forme $a^{2}+2ab+b^{2}$ avec ; $a=3x\ $ et $\ b=1$

 

Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :

$$a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$$

Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl}A&=&9x^{2}+6x+1\\\\&=&(3x+1)^{2}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{A=(3x+1)^{2}}$

 

Soit : $B=16x^{2}+9+24x$

 

Alors, $B$ peut encore s'écrire : $B=16x^{2}+24x+9$

 

On remarque que $B$ est de la forme $a^{2}+2ab+b^{2}$ avec ; $a=4x\ $ et $\ b=3$

 

Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :

$$a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$$

Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} B&=&16x^{2}+24x+9\\\\&=&(4x+3)^{2}\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{B=(4x+3)^{2}}$

 

Soit : $C=\dfrac{4}{9}x^{2}-1$

 

On remarque alors que $A$ est de la forme $a^{2}-b^{2}$ avec ; $a=\dfrac{2}{3}x\ $ et $\ b=1$

 

Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :

$$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$$

Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{4}{9}x^{2}-1\\\\&=&\left(\dfrac{2}{3}x+1\right)\left(\dfrac{2}{3}x-1\right)\end{array}$

 

D'où, $\boxed{C=\left(\dfrac{2}{3}x+1\right)\left(\dfrac{2}{3}x-1\right)}$

 

Soit : $D=25x^{2}-10x+1$

 

On remarque alors que $D$ est de la forme $a^{2}-2ab+b^{2}$ avec ; $a=5x\ $ et $\ b=1$

 

Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :

$$a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$$

Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} D&=&25x^{2}-10x+1\\\\&=&(5x-1)^{2}\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{D=(5x-1)^{2}}$

 

Soit : $E=36-12x+x^{2}$

 

$E$ est de la forme $a^{2}-2ab+b^{2}$ avec ; $a=6\ $ et $\ b=x$

 

Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :

$$a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$$

Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} E&=&36-12x+x^{2}\\\\&=&(6-x)^{2}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{E=(6-x)^{2}}$

 

Soit : $F=4x^{2}-9$

 

On remarque que $F$ est de la forme $a^{2}-b^{2}$ avec ; $a=2x\ $ et $\ b=3$

 

Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :

$$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$$

Donc, en appliquant cette propriété, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} F&=&4x^{2}-9\\\\&=&(2x+3)(2x-3)\end{array}$

 

D'où, $\boxed{F=(2x-3)(2x+3)}$