Corrigé Exercice 1 : Racine carrée 3e

 

Donnons une écriture simple des nombres réels $A\;,\ B\;,\ C\;,\ D\ $ et $\ E$ suivants :

 

Soit $A=\sqrt{200}-3\sqrt{18}+6\sqrt{2}+50$ 

 

Alors, dans l'écriture de $A$, nous allons remplacer $\sqrt{200}\ $ et $\ \sqrt{18}$ par une écriture plus simple.

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} \sqrt{200}&=&\sqrt{100\times 2}\\\\&=&\sqrt{100}\times\sqrt{2}\\\\&=&10\sqrt{2}\end{array}$ 

 

et

 

$\begin{array}{rcl} \sqrt{18}&=&\sqrt{9\times 2}\\\\&=&\sqrt{9}\times\sqrt{2}\\\\&=&3\sqrt{2}\end{array}$ 

 

Donc, en remplaçant $\sqrt{200}$ par $10\sqrt{2}\ $ et $\ \sqrt{18}$ par $3\sqrt{2}$, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} A&=&\sqrt{200}-3\sqrt{18}+6\sqrt{2}+50\\\\&=&10\sqrt{2}-3\times 3\sqrt{2}+6\sqrt{2}+50\\\\&=&10\sqrt{2}-9\sqrt{2}+6\sqrt{2}+50 \\ \\&=&7\sqrt{2}+50\end{array}$ 

 

D'où, $\boxed{A=7\sqrt{2}+50}$

 

Soit $B=(\sqrt{2}+2)^{2}$

 

En appliquant la règle des identités remarquables $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ avec $a=\sqrt{2}\ $ et $\ b=2$, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} B&=&(\sqrt{2}+2)^{2}\\\\&=&(\sqrt{2})^{2}+2\times 2\times\sqrt{2}+2^{2}\\ \\&=&2+4\sqrt{2}+4\\\\ &=&6+4\sqrt{2}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{B=6+4\sqrt{2}}$

 

Soit $C=(3\sqrt{2}-5)^{2}$

 

On applique la règle $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ avec $a=3\sqrt{2}\ $ et $\ b=5$

 

Donc, on a :

 

$\begin{array}{rcl} C&=&(3\sqrt{2}-5)^{2}\\\\&=&(3\sqrt{2})^{2}-2\times 5\times 3\sqrt{2}+(-5)^{2}\\\\&=&(3)^{2}\times(\sqrt{2})^{2}-30\sqrt{2}+25\\\\&=&9\times 2-30\sqrt{2}+25\\\\ &=&18-30\sqrt{2}+25\\ \\&=&43-30\sqrt{2}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{C=43-30\sqrt{2}}$

 

On donne $D=(3\sqrt{2}+5)(3\sqrt{2}-5)$

 

On applique la règle $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$ avec $a=3\sqrt{2}\ $ et $\ b=5$

 

Ainsi, 

 

$\begin{array}{rcl} D&=&(3\sqrt{2}+5)(3\sqrt{2}-5)\\\\&=&(3\sqrt{2})^{2}-(5)^{2}\\\\&=&(3)^{2}\times(\sqrt{2})^{2}-25\\\\&=&9\times 2-25\\\\&=&18-25\\\\ &=&-7\end{array}$

 

D'où, $\boxed{D=-7}$

 

Soit, $E=\sqrt{19-\sqrt{1+\sqrt{8^{2}}}}$

 

On calcule :

 

$-\ $ d'abord, $\sqrt{8^{2}}$

 

On a : $\sqrt{8^{2}}=|8|=8$

 

$-\ $ ensuite, $\sqrt{1+\sqrt{8^{2}}}$

 

Comme $\sqrt{8^{2}}=8$ alors,

 

$\begin{array}{rcl} \sqrt{1+\sqrt{8^{2}}}&=&\sqrt{1+8}\\\\&=&\sqrt{9}\\\\&=&3\end{array}$

 

$-\ $ enfin, $\sqrt{19-\sqrt{1+\sqrt{8^{2}}}}$

 

On sait que $\sqrt{1+\sqrt{8^{2}}}=3$ donc,

 

$\begin{array}{rcl} \sqrt{19-\sqrt{1+\sqrt{8^{2}}}}&=&\sqrt{19-3}\\\\&=&\sqrt{16}\\\\&=&4\end{array}$

 

D'où, $\boxed{E=4}$