Corrigé Exercice 10 : Calcul algébrique 3e

 

On considère les expressions $f(x)$ et $g(x)$ suivantes :

$$f(x)=(3x-2)^{2}-3x+2\ \text{ et }\ g(x)=(2x+3)^{2}-(x+4)^{2}$$

1) Développons, réduisons et ordonnons $f(x)\ $ et $\ g(x).$

 

Soit : $f(x)=(3x-2)^{2}-3x+2$ alors, en développant, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} f(x)&=&(3x-2)^{2}-3x+2\\\\&=&(3x)^{2}-2\times 2\times 3x+(2)^{2}-3x+2\\\\&=&9x^{2}-12x+4-3x+2\\\\&=&9x^{2}-15x+6\end{array}$

 

D'où, $\boxed{f(x)=9x^{2}-15x+6}$

 

Soit : $g(x)=(2x+3)^{2}-(x+4)^{2}$ alors, en développant, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} g(x)&=&(2x+3)^{2}-(x+4)^{2}\\\\&=&(2x)^{2}+2\times 3\times 2x+(3)^{2}-((x)^{2}+2\times 4\times x+(4)^{2})\\\\&=&4x^{2}+12x+9-(x^{2}+8x+16)\\\\&=&4x^{2}+12x+9-x^{2}-8x-16\\\\&=&3x^{2}+4x-7\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{g(x)=3x^{2}+4x-7}$

 

2) Factorisons $f(x)\ $ et $\ g(x).$

 

Soit : $f(x)=(3x-2)^{2}-3x+2$ alors, en factorisant, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} f(x)&=&(3x-2)^{2}-3x+2\\\\&=&(3x-2)(3x-2)-(3x-2)\\\\&=&(3x-2)[(3x-2)-1]\\\\&=&(3x-2)(3x-2-1)\\\\&=&(3x-2)(3x-3)\\\\&=&3(3x-2)(x-1)\end{array}$

 

D'où, $\boxed{f(x)=3(3x-2)(x-1)}$

 

Soit : $g(x)=(2x+3)^{2}-(x+4)^{2}$ alors, en factorisant, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} g(x)&=&(2x+3)^{2}-(x+4)^{2}\\\\&=&[(2x+3)-(x+4)][(2x+3)+(x+4)]\\\\&=&(2x+3-x-4)(2x+3+x+4)\\\\&=&(x-1)(3x+7)\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{g(x)=(x-1)(3x+7)}$

 

3) On pose $h(x)=\dfrac{(3x-3)(3x-2)}{(x-1)(3x+7)}$

 

a) On ne peut pas calculer $h(1).$

 

En effet, pour calculer $h(1)$, on doit remplacer $x$ par $1.$

 

Et cela va annuler le dénominateur.

 

Or, le dénominateur de $h$ doit être toujours différent de $0.$

 

Par conséquent, on ne peut pas calculer $h(1).$

 

b) Donnons la condition d'existence de $h(x)$ puis simplifions $h(x).$

 

$h(x)$ existe si, et seulement si, le dénominateur est différent de $0.$

 

Ainsi, on a :

 

$\begin{array}{rcl} h(x)\text{ existe}&\Leftrightarrow&(x-1)(3x+7)\neq 0\\\\&\Leftrightarrow&(x-1)\neq 0\ \text{ et }\ (3x+7)\neq 0\\\\&\Leftrightarrow&x\neq 1\ \text{ et }\ 3x\neq -7\\\\&\Leftrightarrow&x\neq 1\ \text{ et }\ x\neq\dfrac{-7}{3}\end{array}$

 

Donc, $x$ doit être différent de $1\ $ et $\ -\dfrac{7}{3}$ pour que $h(x)$ existe.

 

Simplifions $h(x).$

 

Pour tout $x$ différent de $1\ $ et $\ -\dfrac{7}{3}$, on a :

 

$\begin{array}{rcl} h(x)&=&\dfrac{(3x-3)(3x-2)}{(x-1)(3x+7)}\\\\&=&\dfrac{3(x-1)(3x-2)}{(x-1)(3x+7)}\\\\&=&\dfrac{3(3x-2)}{(3x+7)}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{h(x)=\dfrac{3(3x-2)}{3x+7}}$

 

c) Calculer $h\left(\dfrac{1}{3}\right)$ puis donnons sa valeur approchée à $10^{-1}$ prés par défaut.

 

En remplaçant $x$ par $\dfrac{1}{3}$, dans l'expression simplifiée de $h(x)$, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} h\left(\dfrac{1}{3}\right)&=&\dfrac{3\left(3\times\dfrac{1}{3}-2\right)}{3\times\dfrac{1}{3}+7}\\\\&=&\dfrac{3(1-2)}{1+7}\\\\&=&\dfrac{3(-1)}{8}\\\\&=&-\dfrac{3}{8}\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{h\left(\dfrac{1}{3}\right)=-\dfrac{3}{8}}$

 

Donnons sa valeur approchée à $10^{-1}$ prés par défaut.

 

On a : $-\dfrac{3}{8}=-0.375$

 

Donc, en encadrant $h\left(\dfrac{1}{3}\right)$ à $10^{-1}$ prés, on obtient :

$$-0.4<h\left(\dfrac{1}{3}\right)<-0.3$$

D'où, la valeur approchée de $h\left(\dfrac{1}{3}\right)$ à $10^{-1}$ prés par défaut est égale à : $-0.4$