Corrigé Exercice 10 : Distances - 4e

Classe: 
Quatrième
 

Exercice 10 Approfondissement

1) Sur le segment [AB] de longueur 7cm, plaçons les points I, C  et  O tels que : AI=1cm; AC=2cm  et  BO=3cm.
 
2) a) Traçons en vert le cercle C1(A; AC).
 
b) Traçons en rouge le cercle C2(B; BO).
 
c) Traçons en bleu le cercle C3(I; IO).

 

 
3) Déterminons les positions relatives des cercles :
 
C1 et C2  ;  C1 et C3  ;  C2 et C3.
 
  C1  et  C2 sont disjoints extérieurement.
 
Pour la justification, on doit vérifier que AB>AC+BO
 
En effet, on a : AB=7cm  et  AC+BO=2cm+3cm=5cm
 
Donc, AB>AC+BO
 
D'où, les cercles C1(A; AC)  et  C2(B; BO) sont disjoints extérieurement.
 
  C1  et  C3 sont tangents intérieurement.
 
Pour la justification, on doit vérifier que AI=|ACIO|
 
En effet, on a : AI=1cm et comme I[AO] alors, IO+AI=AO
 
Donc, IO=AOAI
 
Or, O[AB] donc, AO+BO=AB
 
D'où,
 
AO=ABBO=7cm3cm=4cm
 
Ainsi, en remplaçant AO  et  AI par leur valeur, on obtient :
 
IO=AOAI=4cm1cm=3cm
 
Par suite,
 
|ACIO|=|2cm3cm|=|1cm|=1cm
 
D'où, |ACIO|=1cm
 
Par conséquent, AI=|ACIO|
 
Ce qui montre que les cercles C1(A; AC)  et  C3(I; IO) sont tangents intérieurement.
 
  C2  et  C3 sont tangents extérieurement.
 
Pour la justification, on doit vérifier que IB=IO+BO
 
En effet, comme I[AB] alors, AI+IB=AB
 
D'où,
 
IB=ABAI=7cm1cm=6cm
 
Par ailleurs, IO=3cm  et  BO=3cm
 
Donc, IO+BO=3cm+3cm=6cm
 
Ainsi, IB=IO+BO
 
Ce qui prouve que les cercles C2(B; BO)  et  C3(I; IO) sont tangents extérieurement.
 
4) Colorions l'ensemble des points M du plan tel que : AM>AC  et  MI<IO.
 
C'est la partie du plan coloriée en orange.
 
Ce sont les points situés à la fois à l'extérieur du cercle C1 et à l'intérieur du cercle C3.
 
En effet,
 
  l'ensemble des points M du plan tel que AM>AC est représenté par tous les points du plan situés à l'extérieur du cercle C1
 
  l'ensemble des points M du plan tel que MI<IO est représenté par tous les points du plan situés à l'intérieur du cercle C3
 
Ainsi, l'intersection de ces deux ensembles nous donne l'ensemble des points M du plan tel que : AM>AC  et  MI<IO.
 
Ce qui est alors représenté par la partie coloriée en orange.

 

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