Corrigé Exercice 10 : Distances - 4e
Classe:
Quatrième
Exercice 10 Approfondissement
1) Sur le segment [AB] de longueur 7cm, plaçons les points I, C et O tels que : AI=1cm; AC=2cm et BO=3cm.
2) a) Traçons en vert le cercle C1(A; AC).
b) Traçons en rouge le cercle C2(B; BO).
c) Traçons en bleu le cercle C3(I; IO).

3) Déterminons les positions relatives des cercles :
C1 et C2 ; C1 et C3 ; C2 et C3.
− C1 et C2 sont disjoints extérieurement.
Pour la justification, on doit vérifier que AB>AC+BO
En effet, on a : AB=7cm et AC+BO=2cm+3cm=5cm
Donc, AB>AC+BO
D'où, les cercles C1(A; AC) et C2(B; BO) sont disjoints extérieurement.
− C1 et C3 sont tangents intérieurement.
Pour la justification, on doit vérifier que AI=|AC−IO|
En effet, on a : AI=1cm et comme I∈[AO] alors, IO+AI=AO
Donc, IO=AO−AI
Or, O∈[AB] donc, AO+BO=AB
D'où,
AO=AB−BO=7cm−3cm=4cm
Ainsi, en remplaçant AO et AI par leur valeur, on obtient :
IO=AO−AI=4cm−1cm=3cm
Par suite,
|AC−IO|=|2cm−3cm|=|−1cm|=1cm
D'où, |AC−IO|=1cm
Par conséquent, AI=|AC−IO|
Ce qui montre que les cercles C1(A; AC) et C3(I; IO) sont tangents intérieurement.
− C2 et C3 sont tangents extérieurement.
Pour la justification, on doit vérifier que IB=IO+BO
En effet, comme I∈[AB] alors, AI+IB=AB
D'où,
IB=AB−AI=7cm−1cm=6cm
Par ailleurs, IO=3cm et BO=3cm
Donc, IO+BO=3cm+3cm=6cm
Ainsi, IB=IO+BO
Ce qui prouve que les cercles C2(B; BO) et C3(I; IO) sont tangents extérieurement.
4) Colorions l'ensemble des points M du plan tel que : AM>AC et MI<IO.
C'est la partie du plan coloriée en orange.
Ce sont les points situés à la fois à l'extérieur du cercle C1 et à l'intérieur du cercle C3.
En effet,
− l'ensemble des points M du plan tel que AM>AC est représenté par tous les points du plan situés à l'extérieur du cercle C1
− l'ensemble des points M du plan tel que MI<IO est représenté par tous les points du plan situés à l'intérieur du cercle C3
Ainsi, l'intersection de ces deux ensembles nous donne l'ensemble des points M du plan tel que : AM>AC et MI<IO.
Ce qui est alors représenté par la partie coloriée en orange.
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