Corrigé Exercice 10 : Multiples et diviseurs - 5e

 

1) Calculons : 

 

a) $PPCM(180\;;\ 210)$

 

On commence par décomposer les nombres $180\ $ et $\ 210$ en produits de facteurs premiers.

 

Alors, $\begin{array}{r|l} 180&2\\90&2\\45&3\\15&3\\5&5\\1&\end{array}\qquad\begin{array}{r|l} 210&2\\105&5\\21&3\\7&7\\1&\end{array}$

 

Donc, $180=2^{2}\times 3^{2}\times 5\ $ et $\ 210=2\times 3\times 5\times 7$

 

Par suite,

 

$\begin{array}{rcl} PPCM(180\;;\ 210)&=&2^{2}\times 3^{2}\times 5\times 7\\\\&=&1\,260\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{PPCM(180\;;\ 210)=1\,260}$

 

b) $PPCM(104\;;\ 240)$    

 

En décomposant les nombres $104\ $ et $\ 240$ en produits de facteurs premiers, on obtient :

 

$\begin{array}{r|l} 104&2\\52&2\\26&2\\13&13\\1&\end{array}\qquad\begin{array}{r|l} 240&2\\120&2\\60&2\\30&2\\15&3\\5&5\\1&\end{array}$

 

Donc, $104=2^{3}\times 13\ $ et $\ 240=2^{4}\times 3\times 5$

 

Ainsi,

 

$\begin{array}{rcl} PPCM(104\;;\ 240)&=&2^{4}\times 3\times 5\times 13\\\\&=&3\,120\end{array}$

 

D'où, $\boxed{PPCM(104\;;\ 240)=3\,120}$

 

2) Calculons : 

 

a) $PGCD(225\;;\ 360)$ 

 

On commence par décomposer les nombres $225\ $ et $\ 360$ en produits de facteurs premiers.

 

Alors, $\begin{array}{r|l} 225&5\\45&5\\9&3\\3&3\\1&\end{array}\qquad\begin{array}{r|l} 360&2\\180&2\\90&2\\45&3\\15&3\\5&5\\1&\end{array}$

 

Donc, $225=5^{2}\times 3^{2}\ $ et $\ 360=2^{3}\times 3^{2}\times 5$

 

Par suite,

 

$\begin{array}{rcl} PGCD(225\;;\ 360)&=&3^{2}\times 5\\\\&=&45\end{array}$

 

D'où, $\boxed{PGCD(225\;;\ 360)=45}$

 

b) $PGCD(172\;;\ 184)$    

 

En décomposant les nombres $172\ $ et $\ 184$ en produits de facteurs premiers, on obtient :

 

$\begin{array}{r|l} 172&2\\86&2\\43&43\\1&\end{array}\qquad\begin{array}{r|l} 184&2\\92&2\\46&2\\23&23\\1&\end{array}$

 

Donc, $172=2^{2}\times 43\ $ et $\ 184=2^{3}\times 23$

 

Ainsi,

 

$\begin{array}{rcl} PGCD(172\;;\ 184)&=&2^{2}\\\\&=&4\end{array}$

 

D'où, $\boxed{PGCD(172\;;\ 184)=4}$