Corrigé Exercice 10 : Racine carrée 3e

 

On donne $A=\dfrac{\dfrac{4}{-\sqrt{5}-2}}{\dfrac{1}{2-\sqrt{5}}}\ $ et $\ B=4-2\sqrt{5}$

1) Écrivons $A\ $ et $\ B^{2}$ sous la forme $x+y\sqrt{5}.$

On a :

$\begin{array}{rcl} A&=&\dfrac{\dfrac{4}{-\sqrt{5}-2}}{\dfrac{1}{2-\sqrt{5}}}\\\\&=&\dfrac{4}{-\sqrt{5}-2}\times\dfrac{2-\sqrt{5}}{1}\\\\&=&\dfrac{4(2-\sqrt{5})}{-\sqrt{5}-2}\\\\&=&\dfrac{4(2-\sqrt{5})(-\sqrt{5}+2)}{(-\sqrt{5}-2)(-\sqrt{5}+2)}\\\\&=&\dfrac{4(-2\sqrt{5}+4-\sqrt{5}\times(-\sqrt{5})-2\sqrt{5})}{(-\sqrt{5})^{2}-(2)^{2}}\\\\&=&\dfrac{4(-4\sqrt{5}+4+5)}{5-4}\\\\&=&\dfrac{4(-4\sqrt{5}+9)}{1}\\\\&=&36-16\sqrt{5}\end{array}$

Donc, $\boxed{A=36-16\sqrt{5}}$

Soit $B=4-2\sqrt{5}$

Alors, $B^{2}$ est donné par :

$\begin{array}{rcl} B^{2}&=&(4-2\sqrt{5})^{2}\\\\&=&4^{2}-2\times 4\times 2\sqrt{5}+(2\sqrt{5})^{2}\\\\&=&16-16\sqrt{5}+4\times 5\\\\&=&16-16\sqrt{5}+20\\\\&=&36-16\sqrt{5}\end{array}$

D'où, $\boxed{B^{2}=36-16\sqrt{5}}$

En déduisons une écriture simplifiée de $C=\sqrt{A}.$

Soit $C=\sqrt{A}=\sqrt{36-16\sqrt{5}}$

Or, on sait que $36-16\sqrt{5}=B^{2}$

Donc, en remplaçant $36-16\sqrt{5}$ par $B^{2}$, on obtient :

$\begin{array}{rcl} C&=&\sqrt{36-16\sqrt{5}}\\\\&=&\sqrt{B^{2}}\\\\&=&|B|\end{array}$

Donc, $C=|B|$

Cherchons alors le signe de $B$

Pour cela, comparons $4\ $ et $\ 2\sqrt{5}$

On a : $4>0\ $ et $\ 2\sqrt{5}>0$

Alors, $4^{2}=16\ $ et $\ (2\sqrt{5})^{2}=20$

Comme $20$ est plus grand que $16$ alors, $4<2\sqrt{5}$

D'où, $4-2\sqrt{5}<0$

Ce qui signifie que $B$ est négatif.

Par suite, $|B|=-B$

Ainsi,

$\begin{array}{rcl} C&=&|B|\\\\&=&-B\\\\&=&-(4-2\sqrt{5})\\\\&=&-4+2\sqrt{5}\end{array}$

D'où, $\boxed{C=-4+2\sqrt{5}}$

2) Sachant que $2.23<\sqrt{5}<2.24$ ; donnons un encadrement de $B\ $ et $\ C$ à $10^{-1}$ près.

$-\ $ Encadrement de $B$

On a : $2.23<\sqrt{5}<2.24$

Alors, on multiplie chaque membre de l'inégalité par $-2$ tout en sachant que les inégalités changent de sens lorsqu'on multiplie par un même nombre négatif.

On obtient :

$$-2\times 2.23>-2\sqrt{5}>-2\times 2.24$$

Ce qui donne : $-4.46>-2\sqrt{5}>-4.48$

En ajoutant $4$ à chaque membre, on obtient :
$$4-4.46>4-2\sqrt{5}>4-4.48$$
Ce qui donne : $-0.46>4-2\sqrt{5}>-0.48$

D'où, un encadrement de $B$ à $10^{-1}$ prés est donné par :
$$\boxed{-0.5<4-2\sqrt{5}<-0.4}$$
$-\ $ Encadrement de $C$

Comme $C=-B$ alors, pour obtenir un encadrement de $C$, il suffit de multiplier chaque membre de l'encadrement de $B$ par $-1$ en changeant le sens des inégalités.

On obtient alors :
$$-1\times(-0.5)>-(4-2\sqrt{5})>-1\times(-0.4)$$
Ce qui donne : $0.5>-4+2\sqrt{5}>0.4$

D'où, un encadrement de $C$ à $10^{-1}$ prés est donné par :
$$\boxed{0.4<-4+2\sqrt{5}<0.5}$$