Corrigé Exercice 10 : Théorème de Thalès - 3e

 

Soit le triangle $ABC$ tel que :

$$AB=5.2\;cm\;,\ BC=3.9\;cm\ \text{ et }\ AC=4.8\;cm$$

$M$ est le point du côté $[AB]$ tel que $AM=4\;cm.$

 

1) La parallèle à $(BC)$ passant par $M$ coupe le côté $[AC]$ en $N.$

 

Calculons la longueur $MN.$

 

En effet, on a : $(MN)$ parallèle à $(BC).$

 

Alors, les triangles $AMN\ $ et $\ ABC$ sont en position de Thalès.

 

Donc, en utilisant le théorème de Thalès, on a :

$$\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AM}{AB}$$

Ainsi, en remplaçant $BC\;,\ AM\ $ et $\ AB$ par leur valeur, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl}\dfrac{MN}{3.9}=\dfrac{4}{5.2}&\Rightarrow&5.2\times MN=3.9\times 4\\\\&\Rightarrow&MN=\dfrac{15.6}{5.2}\\\\&\Rightarrow&MN=3\end{array}$

 

D'où, $\boxed{MN=3\;cm}$

 

2) La perpendiculaire à $(BC)$ passant par $A$ coupe $(MN)$ en $I\ $ et $\ (BC)$ en $J.$ 

 

Calculons $\dfrac{AI}{AJ}.$

 

En effet, les droites $(MI)\ $ et $\ (BJ)$ étant parallèles alors, les triangles $AIM\ $ et $\ ABJ$ sont en position de Thalès.

 

Donc, en appliquant le théorème de Thalès, on obtient :

$$\dfrac{AI}{AJ}=\dfrac{AM}{AB}$$

Ainsi, en remplaçant $AM\ $ et $\ AB$ par leur valeur, on obtient :

 

$\dfrac{AI}{AJ}=\dfrac{4}{5.2}=0.77$

 

D'où, $\boxed{\dfrac{AI}{AJ}=0.77}$

 

3) Soit $A'$ un point de la parallèle à $(BC)$ passant par $A$, on appelle respectivement $M'\ $ et $\ N'$ les intersections de $(A'B)\ $ et $\ (A'C)$ avec la droite $(MN).$

 

a) Calculons $\dfrac{A'M'}{A'B}.$

 

On a : $(MM')$ parallèle à $(AA').$

 

Alors, les triangles $ABA'\ $ et $\ BMM'$ sont en position de Thalès.

 

Donc, en utilisant le théorème de Thalès, on a :

$$\dfrac{A'M'}{A'B}=\dfrac{AM}{AB}$$

Ainsi, en remplaçant $AM\ $ et $\ AB$ par leur valeur, on obtient :

 

$\dfrac{A'M'}{A'B}=\dfrac{4}{5.2}=0.77$

 

D'où, $\boxed{\dfrac{A'M'}{A'B}=0.77}$

 

b) Calculons $M'N'.$

 

En effet, les droites $(M'N')\ $ et $\ (BC)$ étant parallèles alors, les triangles $AM'N'\ $ et $\ ABC$ sont en position de Thalès.

 

Donc, en appliquant le théorème de Thalès, on obtient :

$$\dfrac{M'N'}{BC}=\dfrac{A'M'}{A'B}$$

Or, d'après la question $a)$, on a : $\dfrac{A'M'}{A'B}=0.77$

 

Ainsi, en remplaçant $BC\ $ et $\ \dfrac{A'M'}{A'B}$ par leur valeur, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl}\dfrac{M'N'}{3.9}=0.77&\Rightarrow&M'N'=3.9\times 0.77\\\\&\Rightarrow&M'N'=3\end{array}$

 

D'où, $\boxed{M'N'=3\;cm}$