Corrigé Exercice 11 : Équations et inéquations du 1er degré à une inconnue 3e

 

On donne les expressions suivantes :

$$f(x)=(3x-5)^{2}-(2x-1)^{2}\ \text{ et }\ g(x)=x^{2}+(2x+1)(5-x)-25$$

1) Développons, réduisons et ordonnons $f(x)\ $ et $\ g(x)$ suivant les puissances décroissantes de $x.$

 

Soit : $f(x)=(3x-5)^{2}-(2x-1)^{2}$

 

Alors, en développant, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} f(x)&=&(3x-5)^{2}-(2x-1)^{2}\\\\&=&(3x)^{2}-2\times 5\times 3x+(5)^{2}-[(2x)^{2}-2\times 1\times 2x+(1)^{2}]\\\\&=&9x^{2}-30x+25-(4x^{2}-4x+1)\\\\&=&9x^{2}-30x+25-4x^{2}+4x-1\\\\&=&9x^{2}-4x^{2}+4x-30x+25-1\\\\&=&5x^{2}-26x+24\end{array}$

 

D'où, $\boxed{f(x)=5x^{2}-26x+24}$

 

Soit : $g(x)=x^{2}+(2x+1)(5-x)-25$

 

Alors, en développant, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} g(x)&=&x^{2}+(2x+1)(5-x)-25\\\\&=&x^{2}+10x-2x^{2}+5-x-25\\\\&=&x^{2}-2x^{2}+10x-x+5-25\\\\&=&-x^{2}+9x-20\end{array}$

 

D'où, $\boxed{g(x)=-x^{2}+9x-20}$

 

2) Factorisons $f(x)\ $ et $\ g(x).$

 

Soit : $f(x)=(3x-5)^{2}-(2x-1)^{2}$

 

Alors, en utilisant la forme factorisée des identités remarquables, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} f(x)&=&(3x-5)^{2}-(2x-1)^{2}\\\\&=&[(3x-5)-(2x-1)][(3x-5)+(2x-1)]\\\\&=&(3x-5-2x+1)(3x-5+2x-1)\\\\&=&(x-4)(5x-6)\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{f(x)=(x-4)(5x-6)}$

 

Soit : $g(x)=x^{2}+(2x+1)(5-x)-25$

 

Alors, $g(x)$ peut encore s'écrire : $g(x)=x^{2}-25+(2x+1)(5-x)$

 

Or, $x^{2}-25=x^{2}-5^{2}=(x-5)(x+5)$

 

Donc, dans l'expression de $g(x)$, en remplaçant $x^{2}-25$ par $(x-5)(x+5)$, on obtient :

$$g(x)=(x-5)(x+5)+(2x+1)(5-x)=-(5-x)(x+5)+(2x+1)(5-x)$$

En prenant $(5-x)$ comme facteur commun, on trouve :

 

$\begin{array}{rcl} g(x)&=&-(5-x)(x+5)+(2x+1)(5-x)\\\\&=&[5-x][-(x+5)+(2x+1)]\\\\&=&(5-x)(-x-5+2x+1)\\\\&=&(5-x)(x-4)\end{array}$

 

D'où, $\boxed{g(x)=(5-x)(x-4)}$

 

3) Résolvons dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :

 

a) $f(x)=g(x)$

 

On a : $f(x)=g(x)$ si, et seulement si, $f(x)-g(x)=0$

 

Donc, en considérant les formes factorisées de $f(x)\ $ et $\ g(x)$, nous allons résoudre l'équation $f(x)-g(x)=0.$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} f(x)-g(x)=0&\Leftrightarrow&(x-4)(5x-6)-(5-x)(x-4)=0\\\\&\Leftrightarrow&[x-4][(5x-6)-(5-x)]=0\\\\&\Leftrightarrow&(x-4)(5x-6-5+x)=0\\\\&\Leftrightarrow&(x-4)(6x-11)=0\\\\&\Leftrightarrow&(x-4)=0\ \text{ ou }\ (6x-11)=0\\\\&\Leftrightarrow&x=4\ \text{ ou }\ 6x=11\\\\&\Leftrightarrow&x=4\ \text{ ou }\ x=\dfrac{11}{6}\end{array}$

 

Donc, $f(x)-g(x)=0$ si, et seulement si, $x=4\ $ ou $\ x=\dfrac{11}{6}.$

 

D'où, l'équation $f(x)=g(x)$ a pour solution :

$$S=\left\lbrace\dfrac{11}{6}\;;\ 4\right\rbrace$$

b) $f(x)=24$

 

On a : $f(x)=24$ si, et seulement si, $f(x)-24=0$

 

Considérons alors la forme développée de $f(x)$ et résolvons l'équation $f(x)-24=0.$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} f(x)-24=0&\Leftrightarrow&5x^{2}-25x+24-24=0\\\\&\Leftrightarrow&5x^{2}-25x=0\\\\&\Leftrightarrow&x(5x-25)=0\\\\&\Leftrightarrow&x=0\ \text{ ou }\ (5x-25)=0\\\\&\Leftrightarrow&x=0\ \text{ ou }\ 5x=25\\\\&\Leftrightarrow&x=0\ \text{ ou }\ x=\dfrac{25}{5}\\\\&\Leftrightarrow&x=0\ \text{ ou }\ x=5\end{array}$

 

Alors, $f(x)-24=0$ si, et seulement si, $x=0\ $ ou $\ x=5.$

 

Donc, l'équation $f(x)=24$ a pour solution :

$$S=\left\lbrace 0\;;\ 5\right\rbrace$$

4) On pose : $q(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$

 

a) Déterminons les valeurs de $x$ pour lesquelles le quotient est défini

 

En effet, le quotient est défini si, et seulement si, son dénominateur $g(x)$ est différent de zéro.

 

Alors, en considérant la forme factorisée de $g(x)$, on obtient :

 

$g(x)\neq 0$ si, et seulement si, $(5-x)(x-4)\neq 0.$

 

Or, $(5-x)(x-4)$ est un produit de facteurs.

 

Donc, $(5-x)(x-4)\neq 0$ si, et seulement si, chaque facteur est différent de zéro.

 

C'est-à-dire ; $5-x\neq 0\ $ et $\ x-4\neq 0$

 

Ce qui donne : $x\neq 5\ $ et $\ x\neq 4$

 

Ainsi, le quotient est défini pour tout $x$ différent de $4\ $ et $\ 5.$

 

b) Simplifions $q(x)$ quand ce quotient existe.

 

En utilisant les formes factorisées de $f(x)\ $ et $\ g(x)$, on a :

$$q(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{(x-4)(5x-6)}{(5-x)(x-4)}$$

En simplifiant par $(x-4)$, on obtient : $q(x)=\dfrac{(5x-6)}{(5-x)}$

 

D'où, $\boxed{q(x)=\dfrac{5x-6}{5-x}}$

 

c) Calculons $q(\sqrt{3}).$ On mettra ce nombre sous la forme $a+b\sqrt{3}.$

 

Dans l'expression simplifiée de $q(x)$, remplaçons $x$ par $\sqrt{3}$ puis, calculons.

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} q(\sqrt{3})&=&\dfrac{5\sqrt{3}-6}{5-\sqrt{3}}\\\\&=&\dfrac{(5\sqrt{3}-6)(5+\sqrt{3})}{(5-\sqrt{3})(5+\sqrt{3})}\\\\&=&\dfrac{25\sqrt{3}+15-30-6\sqrt{3}}{(5)^{2}-(\sqrt{3})^{2}}\\\\&=&\dfrac{19\sqrt{3}-15}{25-3}\\\\&=&\dfrac{19\sqrt{3}-15}{22}\\\\&=&\dfrac{19}{22}\sqrt{3}-\dfrac{15}{22}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{q(\sqrt{3})=-\dfrac{15}{22}+\dfrac{19}{22}\sqrt{3}}$

 

d) Résolvons dans $\mathbb{R}\;,\ |q(x)|=2$

 

En utilisant l'expression simplifiée de $q(x)$, on a : $|q(x)|=2$ si, et seulement si, $\left|\dfrac{5x-6}{5-x}\right|=2$

 

Alors, en résolvant cette équation, on trouve :

 

$\begin{array}{rcl} \left|\dfrac{5x-6}{5-x}\right|=2&\Leftrightarrow&\dfrac{5x-6}{5-x}=2\ \text{ ou }\ \dfrac{5x-6}{5-x}=-2\\\\&\Leftrightarrow&5x-6=2\times(5-x)\ \text{ ou }\ 5x-6=-2\times(5-x)\\\\&\Leftrightarrow&5x-6=10-2x\ \text{ ou }\ 5x-6=-10+2x\\\\&\Leftrightarrow&5x+2x=10+6\ \text{ ou }\ 5x-2x=-10+6\\\\&\Leftrightarrow&7x=16\ \text{ ou }\ 3x=-4\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{16}{7}\ \text{ ou }\ x=\dfrac{-4}{3}\end{array}$

 

Donc, $\left|\dfrac{5x-6}{5-x}\right|=2$ si, et seulement si, $x=-\dfrac{4}{3}\ $ ou $\ x=\dfrac{16}{7}.$

 

D'où, l'équation $|q(x)|=2$ a pour solution : $$S=\left\lbrace -\dfrac{4}{3}\;;\ \dfrac{16}{7}\right\rbrace$$