Corrigé Exercice 11 : Calcul algébrique 3e

 

On donne les expressions suivantes : 

$$f(x)=(3x-5)^{2}-(2x-1)^{2}\ \text{ et }\ g(x)=x^{2}+(2x+1)(5-x)-25$$

1) Développons, réduisons et ordonnons $f(x)\ $ et $\ g(x).$

 

Soit : $f(x)=(3x-5)^{2}-(2x-1)^{2}$ alors, en développant, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} f(x)&=&(3x-5)^{2}-(2x-1)^{2}\\\\&=&(3x)^{2}-2\times 5\times 3x+(5)^{2}-((2x)^{2}-2\times 1\times 2x+(1)^{2})\\\\&=&9x^{2}-30x+25-(4x^{2}-4x+1)\\\\&=&9x^{2}-30x+25-4x^{2}+4x-1\\\\&=&5x^{2}-26x+24\end{array}$

 

D'où, $\boxed{f(x)=5x^{2}-26x+24}$

 

Soit : $g(x)=x^{2}+(2x+1)(5-x)-25$ alors, en développant, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} g(x)&=&x^{2}+(2x+1)(5-x)-25\\\\&=&x^{2}+2x\times 5-2x\times x+5\times 1-x\times 1-25\\\\&=&x^{2}+10x-2x^{2}+5-x-25\\\\&=&-x^{2}+9x-20\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{g(x)=-x^{2}+9x-20}$

 

2) Factorisons $f(x)\ $ et $\ g(x).$

 

Soit : $f(x)=(3x-5)^{2}-(2x-1)^{2}$ alors, en factorisant, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} f(x)&=&(3x-5)^{2}-(2x-1)^{2}\\\\&=&[(3x-5)-(2x-1)][(3x-5)+(2x-1)]\\\\&=&(3x-5-2x+1)(3x-5+2x-1)\\\\&=&(x-4)(5x-6)\end{array}$

 

D'où, $\boxed{f(x)=(x-4)(5x-6)}$

 

Soit : $g(x)=x^{2}+(2x+1)(5-x)-25$ alors, en factorisant, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} g(x)&=&x^{2}+(2x+1)(5-x)-25\\\\&=&x^{2}-25+(2x+1)(5-x)\\\\&=&(x-5)(x+5)+(2x+1)(5-x)\\\\&=&(x-5)(x+5)-(2x+1)(x-5)\\\\&=&(x-5)[(x+5)-(2x+1)]\\\\&=&(x-5)(x+5-2x-1)\\\\&=&(x-5)(-x+4)\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{g(x)=(x-5)(-x+4)}$

 

3) Soit $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$

 

a) Donnons la condition d'existence de $h(x).$

 

$h(x)$ existe si, et seulement si, le dénominateur $g(x)$ est différent de $0.$

 

Ainsi, on a :

 

$\begin{array}{rcl} h(x)\text{ existe}&\Leftrightarrow&g(x)\neq 0\\\\&\Leftrightarrow&(x-5)(-x+4)\neq 0\\\\&\Leftrightarrow&(x-5)\neq 0\ \text{ et }\ (-x+4)\neq 0\\\\&\Leftrightarrow&x\neq 5\ \text{ et }\ -x\neq -4\\\\&\Leftrightarrow&x\neq 5\ \text{ et }\ x\neq\dfrac{-4}{-1}\\\\&\Leftrightarrow&x\neq 5\ \text{ et }\ x\neq 4\end{array}$

 

Donc, $x$ doit être différent de $5\ $ et $\ 4$ pour que $h(x)$ existe.

 

b) Simplifions $h(x).$

 

Pour tout $x$ différent de $5\ $ et $\ 4$, on a :

 

$\begin{array}{rcl} h(x)&=&\dfrac{f(x)}{g(x)}\\\\&=&\dfrac{(x-4)(5x-6)}{(x-5)(-x+4)}\\\\&=&\dfrac{(x-4)(5x-6)}{-(x-5)(x-4)}\\\\&=&\dfrac{(5x-6)}{-(x-5)}\\\\&=&\dfrac{(5x-6)}{(-x+5)}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{h(x)=\dfrac{5x-6}{-x+5}}$

 

4) Comparons : $h(0)\ $ et $\ h\left(-\dfrac{1}{2}\right).$

 

Calculons $h(0)$

 

En remplaçant $x$ par $0$, dans l'expression simplifiée de $h(x)$, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} h\left(0\right)&=&\dfrac{5\times 0-6}{-0+5}\\\\&=&\dfrac{-6}{5}\end{array}$

 

Donc, $\boxed{h\left(0\right)=-\dfrac{6}{5}}$

 

Calculons $h\left(-\dfrac{1}{2}\right)$

 

En remplaçant $x$ par $-\dfrac{1}{2}$, dans l'expression simplifiée de $h(x)$, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} h\left(-\dfrac{1}{2}\right)&=&\dfrac{5\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)-6}{-\left(-\dfrac{1}{2}\right)+5}\\\\&=&\dfrac{-\dfrac{5}{2}-6}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{10}{2}}\\\\&=&\dfrac{-\dfrac{5}{2}-\dfrac{12}{2}}{\dfrac{11}{2}}\\\\&=&\dfrac{\dfrac{-17}{2}}{\dfrac{11}{2}}\\\\&=&\dfrac{-17}{2}\times\dfrac{2}{11}\\\\&=&\dfrac{-17}{11}\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{h\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{17}{11}}$

 

Comparons ensuite $-\dfrac{6}{5}\ $ et $\ -\dfrac{17}{11}$

 

En effet, ces deux nombres étant tous négatifs alors, le plus grand est celui avec la plus petite valeur absolue.

 

Soit : $\left|-\dfrac{6}{5}\right|=\dfrac{6}{5}\ $ et $\ \left|-\dfrac{17}{11}\right|=\dfrac{17}{11}$

 

Alors, en calculant la différence entre ces valeurs absolues, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} \dfrac{6}{5}-\dfrac{17}{11}&=&\dfrac{6\times 11}{5\times 11}-\dfrac{17\times 5}{11\times 5}\\\\&=&\dfrac{66}{55}-\dfrac{85}{55}\\\\&=&\dfrac{66-85}{55}\\\\&=&\dfrac{-19}{55}\end{array}$

 

Donc, $\boxed{\dfrac{6}{5}-\dfrac{17}{11}=-\dfrac{19}{55}}$

 

On remarque alors que cette différence est négative.

 

Ce qui signifie que $\dfrac{6}{5}<\dfrac{17}{11}.$

 

Par conséquent, $-\dfrac{6}{5}>-\dfrac{17}{11}.$

 

D'où, $\boxed{h(0)>h\left(-\dfrac{1}{2}\right)}$