Corrigé Exercice 11 : Racine carrée 3e

 

On donne $a=\dfrac{-6}{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}\ $ et $\ b=4-2\sqrt{3}$

1) Écrivons $a$ sous la forme $x\sqrt{3}+y\sqrt{2}$ puis, calculons $a^{2}.$

En rendant rationnel le dénominateur de $a$, on obtient :

$\begin{array}{rcl} a&=&\dfrac{-6}{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}\\\\&=&\dfrac{-6(2\sqrt{3}+3\sqrt{2})}{(2\sqrt{3}-3\sqrt{2})(2\sqrt{3}+3\sqrt{2})}\\\\&=&\dfrac{-6(2\sqrt{3}+3\sqrt{2})}{(2\sqrt{3})^{2}-(3\sqrt{2})^{2}}\\\\&=&\dfrac{-6(2\sqrt{3}+3\sqrt{2})}{(4\times 3)-(9\times 2)}\\\\&=&\dfrac{-6(2\sqrt{3}+3\sqrt{2})}{12-18}\\\\&=&\dfrac{-6(2\sqrt{3}+3\sqrt{2})}{-6}\\\\&=&2\sqrt{3}+3\sqrt{2}\end{array}$

D'où, $\boxed{a=2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}$

$\ $ Calcul de $a^{2}$

Comme $a$ peut encore s'écrire $a=2\sqrt{3}+3\sqrt{2}$ alors, utilisons cette nouvelle écriture de $a$ pour calculer $a^{2}.$

On a alors :

$\begin{array}{rcl} a^{2}&=&(2\sqrt{3}+3\sqrt{2})^{2}\\\\&=&(2\sqrt{3})^{2}+2\times(2\sqrt{3})\times(3\sqrt{2})+(3\sqrt{2})^{2}\\\\&=&(4\times 3)+2\times 2\times 3\times\sqrt{3}\times\sqrt{2}+(9\times 2)\\\\&=&12+12\sqrt{3\times 2}+18\\\\&=&30+12\sqrt{6}\end{array}$

Ainsi, $\boxed{a^{2}=30+12\sqrt{6}}$

En déduisons une écriture simplifiée de $C=\dfrac{30+12\sqrt{6}}{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}.$

On sait que $30+12\sqrt{6}=a^{2}$

De plus, on a : $a=\dfrac{-6}{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}$

Donc, $a\times(2\sqrt{3}-3\sqrt{2})=-6$

Ce qui donne : $2\sqrt{3}-3\sqrt{2}=\dfrac{-6}{a}$

Ainsi, dans l'expression de $C$, en remplaçant $30+12\sqrt{6}$ par $a^{2}\ $ et $2\sqrt{3}-3\sqrt{2}$ par $\dfrac{-6}{a}$, on obtient :

$\begin{array}{rcl} C&=&\dfrac{30+12\sqrt{6}}{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}\\\\&=&\dfrac{a^{2}}{\dfrac{-6}{a}}\\\\&=&\dfrac{a^{2}}{1}\times\dfrac{a}{-6}\\\\&=&\dfrac{a^{2}\times a}{-6}\\\\&=&-\dfrac{a^{3}}{6}\end{array}$

D'où, $\boxed{C=-\dfrac{a^{3}}{6}}$

2) Calculons $b^{2}$ puis, montrons que $d=\dfrac{12-3\sqrt{12}}{\sqrt{28-16\sqrt{3}}}\in\mathbb{N}$

Soit $b=4-2\sqrt{3}$

Alors, $b^{2}$ est donné par :

$\begin{array}{rcl} b^{2}&=&(4-2\sqrt{3})^{2}\\\\&=&4^{2}-2\times 4\times 2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^{2}\\\\&=&16-16\sqrt{3}+4\times 3\\\\&=&16-16\sqrt{3}+12\\\\&=&28-16\sqrt{3}\end{array}$

D'où, $\boxed{b^{2}=28-16\sqrt{3}}$

Montrons que $d=\dfrac{12-3\sqrt{12}}{\sqrt{28-16\sqrt{3}}}\in\mathbb{N}$

Pour cela, on montre que $d$ est un entier naturel.

En effet, le numérateur de $d$, peut encore s'écrire :

$\begin{array}{rcl} 12-3\sqrt{12}&=&12-3\sqrt{4\times 3}\\\\&=&12-3\sqrt{4}\times\sqrt{3}\\\\&=&12-3\times 2\times\sqrt{3}\\\\&=&12-6\sqrt{3}\end{array}$

Donc, $12-3\sqrt{12}=12-6\sqrt{3}$

Aussi, comme $b^{2}=28-16\sqrt{3}$ alors, le dénominateur de $d$ s'écrit :
$$\sqrt{28-16\sqrt{3}}=\sqrt{b^{2}}=|b|$$
Cherchons alors le signe de $b$

Pour cela, comparons $4\ $ et $\ 2\sqrt{3}$

On a : $4>0\ $ et $\ 2\sqrt{3}>0$

Alors, $4^{2}=16\ $ et $\ (2\sqrt{3})^{2}=12$

Comme $16$ est plus grand que $12$ alors, $4>2\sqrt{3}$

D'où, $4-2\sqrt{3}>0$

Ce qui signifie que $b$ est positif.

Par suite, $|b|=b=4-2\sqrt{3}$

Ainsi, $\sqrt{28-16\sqrt{3}}=4-2\sqrt{3}$

Donc, dans l'écriture de $d$, en remplaçant le numérateur par $12-6\sqrt{3}$ et le dénominateur par $4-2\sqrt{3}$, on obtient :

$\begin{array}{rcl} d&=&\dfrac{12-3\sqrt{12}}{\sqrt{28-16\sqrt{3}}}\\\\&=&\dfrac{12-6\sqrt{3}}{4-2\sqrt{3}}\\\\&=&\dfrac{3(4-2\sqrt{3})}{4-2\sqrt{3}}\\\\&=&3\end{array}$

D'où, $\boxed{d=3\quad\text{qui est bien un entier naturel}}$