Corrigé Exercice 12 : Racine carrée 3e

 

1) Écrivons sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a\ $ et $\ b$ sont des entiers : $\sqrt{45}\;;\ \sqrt{12}\;;\ \sqrt{20}.$

On sait que : $45=9\times 5$

Donc, en remplaçant, on trouve :

$\begin{array}{rcl} \sqrt{45}&=&\sqrt{9\times 5}\\\\&=&\sqrt{9}\times\sqrt{5}\\\\&=&3\times\sqrt{5}\\\\&=&3\sqrt{5}\end{array}$

D'où, $\boxed{\sqrt{45}=3\sqrt{5}}$

On a : $12=4\times 3$

Donc, en remplaçant, on obtient :

$\begin{array}{rcl} \sqrt{12}&=&\sqrt{4\times 3}\\\\&=&\sqrt{4}\times\sqrt{3}\\\\&=&2\times\sqrt{3}\\\\&=&2\sqrt{3}\end{array}$

Ainsi, $\boxed{\sqrt{12}=2\sqrt{3}}$

On sait que : $20=4\times 5$

Donc, en remplaçant, on trouve :

$\begin{array}{rcl} \sqrt{20}&=&\sqrt{4\times 5}\\\\&=&\sqrt{4}\times\sqrt{5}\\\\&=&2\times\sqrt{5}\\\\&=&2\sqrt{5}\end{array}$

D'où, $\boxed{\sqrt{20}=2\sqrt{5}}$

2) Écrivons $C=\sqrt{45}+\sqrt{12}+\sqrt{20}-2\sqrt{3}$ sous la forme $d\sqrt{5}$ où $d$ est un entier.

En remplaçant $\sqrt{45}\;;\ \sqrt{12}\;;\ \sqrt{20}$ par leur écriture plus simplifiée, on obtient :

$\begin{array}{rcl} C&=&\sqrt{45}+\sqrt{12}+\sqrt{20}-2\sqrt{3}\\\\&=&3\sqrt{5}+2\sqrt{3}+2\sqrt{5}-2\sqrt{3}\\\\&=&5\sqrt{5}\end{array}$

D'où, $\boxed{C=5\sqrt{5}}$

3) Montrons que $E=(1+\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{8}-1)$ est un entier.

En calculant directement, on obtient :

$\begin{array}{rcl} E&=&(1+\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{8}-1)\\\\&=&1^{2}+2\times 1\times\sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}-\sqrt{8}+1\\\\&=&1+2\sqrt{2}+2-\sqrt{4\times 2}+1\\\\&=&4+2\sqrt{2}-\sqrt{4}\times\sqrt{2}\\\\&=&4+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}\\\\&=&4\end{array}$

D'où, $\boxed{E=4\quad\text{qui est un entier naturel}}$