Corrigé Exercice 13 : Équations et inéquations du 1er degré à une inconnue 3e
Classe:
Troisième
Exercice 13
On considère les expressions suivantes : A(x)=(2x−1)2−2x+1 et B(x)=4x2−1−(2x−1)(−x+5)
1) Développons, réduisons et ordonnons A(x) et B(x) suivant les puissances décroissantes de x
On a :
A(x)=(2x−1)2−2x+1=(2x)2−2×1×(2x)+12−2x+1=4x2−4x+1−2x+1=4x2−6x+2
Donc, A(x)=4x2−6x+2
Soit :
B(x)=4x2−1−(2x−1)(−x+5)=4x2−1−(−2x2+10x+x−5)=4x2−1+2x2−10x−x+5=6x2−11x+4
Alors, B(x)=6x2−11x+4
2) Factoriser A(x) et B(x)
Soit : A(x)=(2x−1)2−2x+1=(2x−1)2−(2x−1)
Donc, en prenant (2x−1) comme facteur commun, on obtient :
A(x)=(2x−1)2−(2x−1)=[2x−1][(2x−1)−1]=(2x−1)(2x−1−1)=(2x−1)(2x−2)
Ainsi, A(x)=(2x−1)(2x−2)
Soit :
B(x)=4x2−1−(2x−1)(−x+5)=(2x)2−12−(2x−1)(−x+5)=(2x−1)(2x+1)−(2x−1)(−x+5)
Donc, B(x)=(2x−1)(2x+1)−(2x−1)(−x+5)
Alors, en prenant (2x−1) comme facteur commun, on obtient :
B(x)=(2x−1)(2x+1)−(2x−1)(−x+5)=[2x−1][(2x+1)−(−x+5)]=(2x−1)(2x+1+x−5)=(2x−1)(3x−4)
D'où, B(x)=(2x−1)(3x−4)
3) On pose : E(x)=(4x−2)(x−1)(2x−1)(3x−4)
a) Déterminons les valeurs de x pour lesquelles E(x) existe.
E(x) existe si, et seulement si, (2x−1)(3x−4)≠0.
Donc, (2x−1)≠0 et (3x−4)≠0.
C'est-à-dire ; 2x≠1 et 3x≠4.
Ce qui donne alors : x≠12 et x≠43.
Ainsi, les valeurs de x pour lesquelles E(x) existe sont : 12 et 43.
b) Simplifions E(x)
On a : E(x)=(4x−2)(x−1)(2x−1)(3x−4)=2(2x−1)(x−1)(2x−1)(3x−4)
Alors, en simplifiant par (2x−1), on obtient : E(x)=2(x−1)(3x−4).
D'où, E(x)=2x−23x−4
4) Soit : H(x)=2(x−1)(3x−4)
a) Calculons H(1−√2) (On rendra rationnel le dénominateur).
Pour cela, on remplace x par (1−√2), dans l'expression de H(x) puis, on calcule.
On a :
H(1−√2)=2(1−√2−1)3(1−√2)−4=−2√23−3√2−4=−2√2−3√2−1=2√23√2+1
Donc, H(1−√2)=2√23√2+1
Alors, en rendant rationnel le dénominateur, on trouve :
H(1−√2)=2√23√2+1=2√2×(3√2−1)(3√2+1)(3√2−1)=12−2√2(3√2)2−(1)2=12−2√218−1=12−2√217
D'où, H(1−√2)=12−2√217
b) Donnons un encadrement de H(1−√2) à 10−2 près sachant que 1.414<√2<1.415.
Soit : H(1−√2)=12−2√217.
Multiplions chaque membre de l'encadrement de √2 par le même nombre −2 en changeant le sens des inégalités.
On trouve alors : −2×1.415<−2√2<−2×1.414
Ce qui donne :
−2.830<−2√2<−2.828
Ajoutons ensuite 12 à chaque membre de cette inégalité.
On obtient : 12−2.830<12−2√2<12−2.828
C'est-à-dire ;
9.17<12−2√2<9.172
Divisons enfin chaque membre de cette inégalité par le même nombre 17.
On trouve : 9.1717<12−2√217<9.17217
Ce qui donne :
0.5394<12−2√217<0.5395
D'où, un encadrement de H(1−√2) à 10−2 près est donné par :
0.53<H(1−√2)<0.54
5) Résolvons dans R : |H(x)|=23; H(x)≥0
On a : H(x)=2(x−1)(3x−4)
|H(x)|=23⇔|2(x−1)(3x−4)|=23⇔2(x−1)(3x−4)=23 ou 2(x−1)(3x−4)=−23⇔3×2(x−1)=2(3x−4) ou 3×2(x−1)=−2(3x−4)⇔6x−6=6x−8 ou 6x−6=−6x+8⇔6x−6x=−8+6 ou 6x+6x=8+6⇔0x=−2⏟impossible ou 12x=14⇔x=1412⇔x=76
D'où, l'équation |H(x)|=23 a pour solution : S={76}
Soit à résoudre l'inéquation H(x)≥0.
On a : H(x)=0 si, et seulement si, 2(x−1)(3x−4)=0
Ce qui signifie : 2(x−1)=0
Or, 2≠0 donc, 2(x−1)=0 si, et seulement si, x−1=0
C'est-à-dire ; x=1
De plus, (3x−4)≠0 si, et seulement si, x≠43
Alors,
2(x−1) est positif pour tout x>1 et négatif pour x<1
(3x−4) est positif pour tout x>43 et négatif pour x<43
En regroupant ces informations dans un tableau de signes, on obtient :
x−∞14/3+∞2(x−1)−0+|+3x−4−|−0+2(x−1)(3x−4)+0−||+
Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression 2(x−1)(3x−4) est supérieure ou égale à zéro lorsque x appartient à l'intervalle ]−∞; 1]∪]43; +∞[.
Par conséquent, l'inéquation H(x)≥0 a pour solution :S=]−∞; 1]∪]43; +∞[
Ajouter un commentaire