Corrigé Exercice 13 : Équations et inéquations du 1er degré à une inconnue 3e

 

On considère les expressions suivantes : $A(x)=(2x-1)^{2}-2x+1\ $ et $\ B(x)=4x^{2}-1-(2x-1)(-x+5)$

 

1) Développons, réduisons et ordonnons $A(x)\ $ et $\ B(x)$ suivant les puissances décroissantes de $x$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} A(x)&=&(2x-1)^{2}-2x+1\\\\&=&(2x)^{2}-2\times 1\times(2x)+1^{2}-2x+1\\\\&=&4x^{2}-4x+1-2x+1\\\\&=&4x^{2}-6x+2\end{array}$

 

Donc, $\boxed{A(x)=4x^{2}-6x+2}$

 

Soit :

 

$\begin{array}{rcl} B(x)&=&4x^{2}-1-(2x-1)(-x+5)\\\\&=&4x^{2}-1-(-2x^{2}+10x+x-5)\\\\&=&4x^{2}-1+2x^{2}-10x-x+5\\\\&=&6x^{2}-11x+4\end{array}$

 

Alors, $\boxed{B(x)=6x^{2}-11x+4}$

 

2) Factoriser $A(x)\ $ et $\ B(x)$

 

Soit : $A(x)=(2x-1)^{2}-2x+1=(2x-1)^{2}-(2x-1)$

 

Donc, en prenant $(2x-1)$ comme facteur commun, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} A(x)&=&(2x-1)^{2}-(2x-1)\\\\&=&[2x-1][(2x-1)-1]\\\\&=&(2x-1)(2x-1-1)\\\\&=&(2x-1)(2x-2)\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{A(x)=(2x-1)(2x-2)}$

 

Soit :

 

$\begin{array}{rcl} B(x)&=&4x^{2}-1-(2x-1)(-x+5)\\\\&=&(2x)^{2}-1^{2}-(2x-1)(-x+5)\\\\&=&(2x-1)(2x+1)-(2x-1)(-x+5)\end{array}$

 

Donc, $B(x)=(2x-1)(2x+1)-(2x-1)(-x+5)$

 

Alors, en prenant $(2x-1)$ comme facteur commun, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} B(x)&=&(2x-1)(2x+1)-(2x-1)(-x+5)\\\\&=&[2x-1][(2x+1)-(-x+5)]\\\\&=&(2x-1)(2x+1+x-5)\\\\&=&(2x-1)(3x-4)\end{array}$

 

D'où, $\boxed{B(x)=(2x-1)(3x-4)}$

 

3) On pose : $E(x)=\dfrac{(4x-2)(x-1)}{(2x-1)(3x-4)}$

 

a) Déterminons les valeurs de $x$ pour lesquelles $E(x)$ existe.

 

$E(x)$ existe si, et seulement si, $(2x-1)(3x-4)\neq 0.$

 

Donc, $(2x-1)\neq 0\ $ et $\ (3x-4)\neq 0.$

 

C'est-à-dire ; $2x\neq 1\ $ et $\ 3x\neq 4.$

 

Ce qui donne alors : $x\neq\dfrac{1}{2}\ $ et $\ x\neq\dfrac{4}{3}.$

 

Ainsi, les valeurs de $x$ pour lesquelles $E(x)$ existe sont : $\dfrac{1}{2}\ $ et $\ \dfrac{4}{3}.$

 

b) Simplifions $E(x)$

 

On a : $E(x)=\dfrac{(4x-2)(x-1)}{(2x-1)(3x-4)}=\dfrac{2(2x-1)(x-1)}{(2x-1)(3x-4)}$

 

Alors, en simplifiant par $(2x-1)$, on obtient : $E(x)=\dfrac{2(x-1)}{(3x-4)}.$

 

D'où, $\boxed{E(x)=\dfrac{2x-2}{3x-4}}$

 

4) Soit : $H(x)=\dfrac{2(x-1)}{(3x-4)}$

 

a) Calculons $H(1-\sqrt{2})$ (On rendra rationnel le dénominateur).

 

Pour cela, on remplace $x$ par $(1-\sqrt{2})$, dans l'expression de $H(x)$ puis, on calcule.

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} H(1-\sqrt{2})&=&\dfrac{2(1-\sqrt{2}-1)}{3(1-\sqrt{2})-4}\\\\&=&\dfrac{-2\sqrt{2}}{3-3\sqrt{2}-4}\\\\&=&\dfrac{-2\sqrt{2}}{-3\sqrt{2}-1}\\\\&=&\dfrac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}+1}\end{array}$

 

Donc, $H(1-\sqrt{2})=\dfrac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}+1}$

 

Alors, en rendant rationnel le dénominateur, on trouve :

 

$\begin{array}{rcl} H(1-\sqrt{2})&=&\dfrac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}+1}\\\\&=&\dfrac{2\sqrt{2}\times(3\sqrt{2}-1)}{(3\sqrt{2}+1)(3\sqrt{2}-1)}\\\\&=&\dfrac{12-2\sqrt{2}}{(3\sqrt{2})^{2}-(1)^{2}}\\\\&=&\dfrac{12-2\sqrt{2}}{18-1}\\\\&=&\dfrac{12-2\sqrt{2}}{17}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{H(1-\sqrt{2})=\dfrac{12-2\sqrt{2}}{17}}$

 

b) Donnons un encadrement de $H(1-\sqrt{2})$ à $10^{-2}$ près sachant que $1.414<\sqrt{2}<1.415.$

 

Soit : $H(1-\sqrt{2})=\dfrac{12-2\sqrt{2}}{17}.$

 

Multiplions chaque membre de l'encadrement de $\sqrt{2}$ par le même nombre $-2$ en changeant le sens des inégalités.

 

On trouve alors : $-2\times 1.415<-2\sqrt{2}<-2\times 1.414$

 

Ce qui donne :

$$-2.830<-2\sqrt{2}<-2.828$$

Ajoutons ensuite $12$ à chaque membre de cette inégalité.

 

On obtient : $12-2.830<12-2\sqrt{2}<12-2.828$

 

C'est-à-dire ;

$$9.17<12-2\sqrt{2}<9.172$$

Divisons enfin chaque membre de cette inégalité par le même nombre $17.$

 

On trouve : $\dfrac{9.17}{17}<\dfrac{12-2\sqrt{2}}{17}<\dfrac{9.172}{17}$

 

Ce qui donne :

$$0.5394<\dfrac{12-2\sqrt{2}}{17}<0.5395$$

D'où, un encadrement de $H(1-\sqrt{2})$ à $10^{-2}$ près est donné par :

$$\boxed{0.53<H(1-\sqrt{2})<0.54}$$

5) Résolvons dans $\mathbb{R}\ :\ |H(x)|=\dfrac{2}{3}\;;\  H(x)\geq 0$

 

On a : $H(x)=\dfrac{2(x-1)}{(3x-4)}$

 

$\begin{array}{rcl} |H(x)|=\dfrac{2}{3}&\Leftrightarrow&\left|\dfrac{2(x-1)}{(3x-4)}\right|=\dfrac{2}{3}\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{2(x-1)}{(3x-4)}=\dfrac{2}{3}\ \text{ ou }\ \dfrac{2(x-1)}{(3x-4)}=-\dfrac{2}{3}\\\\&\Leftrightarrow&3\times 2(x-1)=2(3x-4)\ \text{ ou }\ 3\times 2(x-1)=-2(3x-4)\\\\&\Leftrightarrow&6x-6=6x-8\ \text{ ou }\ 6x-6=-6x+8\\\\&\Leftrightarrow&6x-6x=-8+6\ \text{ ou }\ 6x+6x=8+6\\\\&\Leftrightarrow&\underbrace{0x=-2}_{\text{impossible}}\ \text{ ou }\ 12x=14\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{14}{12}\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{7}{6}\end{array}$

 

D'où, l'équation $|H(x)|=\dfrac{2}{3}$ a pour solution : $$S=\left\lbrace\dfrac{7}{6}\right\rbrace$$

 

Soit à résoudre l'inéquation $H(x)\geq 0.$

 

On a : $H(x)=0$ si, et seulement si, $\dfrac{2(x-1)}{(3x-4)}=0$

 

Ce qui signifie : $2(x-1)=0$

 

Or, $2\neq 0$ donc, $2(x-1)=0$ si, et seulement si, $x-1=0$

 

C'est-à-dire ; $x=1$

 

De plus, $(3x-4)\neq 0$ si, et seulement si, $x\neq\dfrac{4}{3}$

 

Alors,

 

$2(x-1)$ est positif pour tout $x>1$ et négatif pour $x<1$

 

$(3x-4)$ est positif pour tout $x>\dfrac{4}{3}$ et négatif pour $x<\dfrac{4}{3}$

 

En regroupant ces informations dans un tableau de signes, on obtient :

$$\begin{array}{|c|lclclcr|}\hline x&-\infty&&1&&4/3&&+\infty\\\hline 2(x-1)&&-&0&+&|&+&\\\hline 3x-4& &-&|&-&0&+&\\\hline \dfrac{2(x-1)}{(3x-4)}&&\boxed{+}&0&-&||&\boxed{+}&\\\hline\end{array}$$

Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression $\dfrac{2(x-1)}{(3x-4)}$ est supérieure ou égale à zéro lorsque $x$ appartient à l'intervalle $\left]-\infty\;;\ 1\right]\cup\left]\dfrac{4}{3}\;;\ +\infty\right[.$ 

 

Par conséquent, l'inéquation $H(x)\geq 0$ a pour solution :$$S=\left]-\infty\;;\ 1\right]\cup\left]\dfrac{4}{3}\;;\ +\infty\right[$$