Corrigé Exercice 13 : Équations et inéquations du 1er degré à une inconnue 3e

Classe: 
Troisième
 

Exercice 13

On considère les expressions suivantes : A(x)=(2x1)22x+1  et  B(x)=4x21(2x1)(x+5)
 
1) Développons, réduisons et ordonnons A(x)  et  B(x) suivant les puissances décroissantes de x
 
On a :
 
A(x)=(2x1)22x+1=(2x)22×1×(2x)+122x+1=4x24x+12x+1=4x26x+2
 
Donc, A(x)=4x26x+2
 
Soit :
 
B(x)=4x21(2x1)(x+5)=4x21(2x2+10x+x5)=4x21+2x210xx+5=6x211x+4
 
Alors, B(x)=6x211x+4
 
2) Factoriser A(x)  et  B(x)
 
Soit : A(x)=(2x1)22x+1=(2x1)2(2x1)
 
Donc, en prenant (2x1) comme facteur commun, on obtient :
 
A(x)=(2x1)2(2x1)=[2x1][(2x1)1]=(2x1)(2x11)=(2x1)(2x2)
 
Ainsi, A(x)=(2x1)(2x2)
 
Soit :
 
B(x)=4x21(2x1)(x+5)=(2x)212(2x1)(x+5)=(2x1)(2x+1)(2x1)(x+5)
 
Donc, B(x)=(2x1)(2x+1)(2x1)(x+5)
 
Alors, en prenant (2x1) comme facteur commun, on obtient :
 
B(x)=(2x1)(2x+1)(2x1)(x+5)=[2x1][(2x+1)(x+5)]=(2x1)(2x+1+x5)=(2x1)(3x4)
 
D'où, B(x)=(2x1)(3x4)
 
3) On pose : E(x)=(4x2)(x1)(2x1)(3x4)
 
a) Déterminons les valeurs de x pour lesquelles E(x) existe.
 
E(x) existe si, et seulement si, (2x1)(3x4)0.
 
Donc, (2x1)0  et  (3x4)0.
 
C'est-à-dire ; 2x1  et  3x4.
 
Ce qui donne alors : x12  et  x43.
 
Ainsi, les valeurs de x pour lesquelles E(x) existe sont : 12  et  43.
 
b) Simplifions E(x)
 
On a : E(x)=(4x2)(x1)(2x1)(3x4)=2(2x1)(x1)(2x1)(3x4)
 
Alors, en simplifiant par (2x1), on obtient : E(x)=2(x1)(3x4).
 
D'où, E(x)=2x23x4
 
4) Soit : H(x)=2(x1)(3x4)
 
a) Calculons H(12) (On rendra rationnel le dénominateur).
 
Pour cela, on remplace x par (12), dans l'expression de H(x) puis, on calcule.
 
On a :
 
H(12)=2(121)3(12)4=223324=22321=2232+1
 
Donc, H(12)=2232+1
 
Alors, en rendant rationnel le dénominateur, on trouve :
 
H(12)=2232+1=22×(321)(32+1)(321)=1222(32)2(1)2=1222181=122217
 
D'où, H(12)=122217
 
b) Donnons un encadrement de H(12) à 102 près sachant que 1.414<2<1.415.
 
Soit : H(12)=122217.
 
Multiplions chaque membre de l'encadrement de 2 par le même nombre 2 en changeant le sens des inégalités.
 
On trouve alors : 2×1.415<22<2×1.414
 
Ce qui donne :
2.830<22<2.828
Ajoutons ensuite 12 à chaque membre de cette inégalité.
 
On obtient : 122.830<1222<122.828
 
C'est-à-dire ;
9.17<1222<9.172
Divisons enfin chaque membre de cette inégalité par le même nombre 17.
 
On trouve : 9.1717<122217<9.17217
 
Ce qui donne :
0.5394<122217<0.5395
D'où, un encadrement de H(12) à 102 près est donné par :
0.53<H(12)<0.54
5) Résolvons dans R : |H(x)|=23; H(x)0
 
On a : H(x)=2(x1)(3x4)
 
|H(x)|=23|2(x1)(3x4)|=232(x1)(3x4)=23  ou  2(x1)(3x4)=233×2(x1)=2(3x4)  ou  3×2(x1)=2(3x4)6x6=6x8  ou  6x6=6x+86x6x=8+6  ou  6x+6x=8+60x=2impossible  ou  12x=14x=1412x=76
 
D'où, l'équation |H(x)|=23 a pour solution : S={76}
 
Soit à résoudre l'inéquation H(x)0.
 
On a : H(x)=0 si, et seulement si, 2(x1)(3x4)=0
 
Ce qui signifie : 2(x1)=0
 
Or, 20 donc, 2(x1)=0 si, et seulement si, x1=0
 
C'est-à-dire ; x=1
 
De plus, (3x4)0 si, et seulement si, x43
 
Alors,
 
2(x1) est positif pour tout x>1 et négatif pour x<1
 
(3x4) est positif pour tout x>43 et négatif pour x<43
 
En regroupant ces informations dans un tableau de signes, on obtient :
x14/3+2(x1)0+|+3x4|0+2(x1)(3x4)+0||+
Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression 2(x1)(3x4) est supérieure ou égale à zéro lorsque x appartient à l'intervalle ]; 1]]43; +[. 
 
Par conséquent, l'inéquation H(x)0 a pour solution :S=]; 1]]43; +[
 
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