Corrigé Exercice 13 : Ensemble $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels 4e

Classe: 
Quatrième
 

Exercice 13

On considère les nombres rationnels : $a\;,\ b\ $ et $\ c$ tels que : $a>0\;,\ b<0\ $ et $\ c>0.$
 
Écrivons les expressions suivantes sans le symbole de valeur absolue.
 
Comme $a\ $ et $\ c$ sont positifs alors, $|a|=a\ $ et $\ |c|=c.$
 
Comme $b$ est négatif alors, $|b|=-b.$
 
Donc, dans la suite, on va remplacer la valeur absolue de ces nombre par leur valeur.
 
Soit : $A=|a|+|b|-|c|$
 
Ainsi, en remplaçant dans l'expression de $A$, on obtient :
 
$\begin{array}{rcl} A&=&|a|+|b|-|c|\\\\&=&a-b-c\end{array}$
 
D'où, $\boxed{A=a-b-c}$
 
Soit : $B=|-7abc|$
 
On rappelle que si $a\ $ et $\ b$ sont deux nombres rationnels alors :
$$|ab|=|a|\times|b|$$
Donc, en appliquant cette propriété de la valeur absolue, on trouve :
 
$\begin{array}{rcl} B&=&|-7abc|\\\\&=&|-7|\times|a|\times|b|\times|c|\\\\&=&7\times a\times(-b)\times c\\\\&=&-7abc\end{array}$
 
D'où, $\boxed{B=-7abc}$
 
Soit : $C=\left|a\times\dfrac{b}{c}\right|$
 
On rappelle que $b\ $ et $\ c$ sont deux nombres rationnels avec $c\neq 0$ alors :
$$\left|\dfrac{b}{c}\right|=\dfrac{|b|}{|c|}$$
Donc, en appliquant cette propriété de la valeur absolue, on obtient :
 
$\begin{array}{rcl} C&=&\left|a\times\dfrac{b}{c}\right|\\\\&=&|a|\times\left|\dfrac{b}{c}\right|\\\\&=&|a|\times\dfrac{|b|}{|c|}\\\\&=&a\times\dfrac{-b}{c}\\\\&=&\dfrac{-ab}{c}\end{array}$
 
Ainsi, $\boxed{C=-\dfrac{ab}{c}}$
 
Soit : $D=|-a+b|$
 
Or, on sait que $a$ est positif donc, $-a$ est négatif.
 
Comme $b$ est négatif alors, $-a+b$ qui est la somme de deux nombres négatifs est aussi négatif.
 
Par suite, d'après la définition de la valeur absolue, on a :
 
$\begin{array}{rcl} D&=&|-a+b|\\\\&=&-(-a+b)\\\\&=&a-b\end{array}$
 
Ainsi, $\boxed{D=a-b}$

 

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