Corrigé Exercice 13 : Multiples et diviseurs - 5e

 

Un philatéliste possède $1\,631$ timbres sénégalais et $932$ étrangers. Il souhaite vendre toute sa collection en réalisant des lots identiques c'est-à-dire comportant le même nombre de timbres et la même répartition de timbres sénégalais et étranger.

 

1) Calculons $PGCD(1\,631\;;\ 932)\ $ et $\ PPCM (1\,631\;;\ 932)$

 

En décomposant les nombres $1\,631\ $ et $\ 932$ en produits de facteurs premiers, on obtient :

 

$\begin{array}{r|l} 1\,631&7\\233&233\\1&\end{array}\qquad\begin{array}{r|l} 932&2\\466&2\\233&233\\1&\end{array}$

 

Donc, $1\,631=7\times 233\ $ et $\ 932=2^{2}\times 233$

 

Ainsi, $\boxed{PGCD(1\,631\;;\ 932)=233}$

 

Aussi, on a :

 

$\begin{array}{rcl} PPCM(1\,631\;;\ 932)&=&2^{2}\times 233\times 7\\\\&=&4\times 233\times 7\\\\&=&6\,524\end{array}$

 

D'où, $\boxed{PPCM(1\,631\;;\ 932)=6\,524}$

 

2) Calculons le nombre maximum de lots qu'il pourra réaliser.

 

On sait que ce philatéliste veut réaliser des lots identiques, comportant le même nombre de timbres et la même répartition de timbres sénégalais et étranger.

 

Alors, le nombre maximum de lots qu'il pourra réaliser représente le plus grand diviseur commun de $1\,631\ $ et $\ 932.$

 

Or, d'après le résultat de $1)$, on a : $PGCD(1\,631\;;\ 932)=233$ 

 

Donc, le nombre maximum de lots qu'il pourra réaliser est égal à $233.$

 

3) Déterminons dans ce cas le nombre de timbres sénégalais et étrangers par lot.

 

Pour cela, on divise respectivement le nombre de timbres sénégalais et étrangers par le nombre de lots.

 

On a alors :

 

$\begin{array}{rcl}\text{Nombre de timbres sénégalais par lot}&=&\dfrac{\text{nombre de timbres sénégalais}}{\text{nombre de lots}}\\\\&=&\dfrac{1\,631}{233}\\\\&=& 7\end{array}$

 

Donc, on aura $7$ timbres sénégalais dans chaque lot.

 

$\begin{array}{rcl}\text{Nombre de timbres étrangers par lot}&=&\dfrac{\text{nombre de timbres étrangers}}{\text{nombre de lots}}\\\\&=&\dfrac{932}{233}\\\\&=& 4\end{array}$

 

Ainsi, il y aura $4$ timbres étrangers par lot.

 

Par conséquent, dans chaque lot, il y aura $7$ timbres sénégalais et $4$ timbres étrangers.