Corrigé Exercice 14 : Racine carrée 3e

 

Soient les réels $x\ $ et $\ y$ tels que :
$$x=\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}+\dfrac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\;;\quad y=\sqrt{50}-\sqrt{32}-\sqrt{18}$$
1) Montrons que $x$ est un entier que l'on précisera.

Pour cela, on commence par réduire au même dénominateur puis, on calcule $x.$

On a :

$\begin{array}{rcl} x&=&\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}+\dfrac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\\\\&=&\dfrac{(2+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}+\dfrac{(2-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}\\\\&=&\dfrac{(2+\sqrt{3})^{2}+(2-\sqrt{3})^{2}}{(2)^{2}-(\sqrt{3})^{2}}\\\\&=&\dfrac{(2)^{2}+2\times 2\times\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}+(2)^{2}-2\times 2\times\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}}{4-3}\\\\&=&\dfrac{4+4\sqrt{3}+3+4-4\sqrt{3}+3}{1}\\\\&=&14\end{array}$

Ainsi, $\boxed{x=14}$

Par conséquent $x$ est un entier.

2) Écrivons $y$ sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $b$ un entier naturel.

Soit $y=\sqrt{50}-\sqrt{32}-\sqrt{18}$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl} y&=&\sqrt{50}-\sqrt{32}-\sqrt{18}\\\\&=&\sqrt{25\times 2}-\sqrt{16\times 2}-\sqrt{9\times 2}\\\\&=&\sqrt{25}\times\sqrt{2}-\sqrt{16}\times\sqrt{2}-\sqrt{9}\times\sqrt{2}\\\\&=&5\times\sqrt{2}-4\times\sqrt{2}-3\times\sqrt{2}\\\\&=&-2\sqrt{2}\end{array}$

D'où, $\boxed{y=-2\sqrt{2}}$

3) Donnons un encadrement de $x-y$ à $10^{-2}$ près.

On a :

$\begin{array}{rcl} x-y&=&14-(-2\sqrt{2})\\\\&=&14+2\sqrt{2}\end{array}$

On va alors donner un encadrement de $14+2\sqrt{2}$ à $10^{-2}$ près.

On sait que : $1.414<\sqrt{2}<1.415$

Alors, on multiplie chaque membre de l'inégalité par $2.$

On obtient :
$$2\times 1.414<2\sqrt{2}<2\times 1.415$$
Ce qui donne : $2.828<2\sqrt{2}<2.830$

En ajoutant $14$ à chaque membre, on trouve :
$$14+2.828<14+2\sqrt{2}<14+2.830$$
C'est-à-dire ; $16.828<14+2\sqrt{2}<16.830$

D'où, un encadrement de $x-y$ à $10^{-2}$ près est donné par :
$$\boxed{16.82<x-y<16.83}$$