Corrigé Exercice 14 : Symétrie centrale 5e
Classe:
Cinquième
Exercice 14
1) Traçons un triangle ABC.
2) a) Construisons le segment [A′B′] symétrique du segment [AB] par rapport au point C.
Pour cela, on construit les symétriques respectifs A′ et B′ des points A et B par rapport au point C.
Puis, on trace le segment [A′B′].
b) Justifions que les segments [AB] et [A′B′] ont même longueur.
D'après le résultat du 2)a), on a : le segment [A′B′] est le symétrique du segment [AB] par rapport au point C.
Or, on sait que : le symétrique d'un segment par rapport à un point est un segment de même longueur.
Par conséquent, les segments [AB] et [A′B′] ont même longueur.
3) a) Le triangle A′B′C est le symétrique du triangle ABC par la symétrie centrale de centre C.
On a : SC(A)=A′; SC(B)=B′; SC(C)=C
Alors, SC(ABC)=A′B′C
Ce qui signifie que le triangle A′B′C est le symétrique du triangle ABC par la symétrie centrale de centre C.
b) Comparons les aires des triangles ABC et A′B′C
Soit AABC l'aire du triangle ABC et AA′B′C celle du triangle A′B′C.
Alors, on a : AABC=AA′B′C
Ce qui signifie que les triangles ABC et A′B′C ont même aire.
Justifions notre réponse.
On a : A′B′C est le symétrique du triangle ABC par rapport au point C.
Or, on sait que la symétrie centrale conserve les aires.
Donc, le symétrique d'un triangle par rapport à un point est un triangle de même aire.
D'où, les triangles ABC et A′B′C ont même aire.
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