Corrigé Exercice 14 : Symétrie centrale 5e
Classe:
Cinquième
Exercice 14
1) Traçons un triangle $ABC.$
2) a) Construisons le segment $[A'B']$ symétrique du segment $[AB]$ par rapport au point $C.$
Pour cela, on construit les symétriques respectifs $A'\ $ et $\ B'$ des points $A\ $ et $\ B$ par rapport au point $C.$
Puis, on trace le segment $[A'B'].$
b) Justifions que les segments $[AB]\ $ et $\ [A'B']$ ont même longueur.
D'après le résultat du $2)\,a)$, on a : le segment $[A'B']$ est le symétrique du segment $[AB]$ par rapport au point $C.$
Or, on sait que : le symétrique d'un segment par rapport à un point est un segment de même longueur.
Par conséquent, les segments $[AB]\ $ et $\ [A'B']$ ont même longueur.
3) a) Le triangle $A'B'C$ est le symétrique du triangle $ABC$ par la symétrie centrale de centre $C.$
On a : $S_{C}(A)=A'\;;\ S_{C}(B)=B'\;;\ S_{C}(C)=C$
Alors, $S_{C}(ABC)=A'B'C$
Ce qui signifie que le triangle $A'B'C$ est le symétrique du triangle $ABC$ par la symétrie centrale de centre $C.$
b) Comparons les aires des triangles $ABC\ $ et $\ A'B'C$
Soit $\mathcal{A}_{_{ABC}}$ l'aire du triangle $ABC\ $ et $\ \mathcal{A}_{_{A'B'C}}$ celle du triangle $A'B'C.$
Alors, on a : $\mathcal{A}_{_{ABC}}=\mathcal{A}_{_{A'B'C}}$
Ce qui signifie que les triangles $ABC\ $ et $\ A'B'C$ ont même aire.
Justifions notre réponse.
On a : $A'B'C$ est le symétrique du triangle $ABC$ par rapport au point $C.$
Or, on sait que la symétrie centrale conserve les aires.
Donc, le symétrique d'un triangle par rapport à un point est un triangle de même aire.
D'où, les triangles $ABC\ $ et $\ A'B'C$ ont même aire.
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