Corrigé Exercice 15 : Équations et inéquations du 1er degré à une inconnue 3e
Classe:
Troisième
Exercice 15
1) Factorisons A(x)=9x2−(x−1)2 et B(x)=x2−3+5x−5√3
On a :
A(x)=9x2−(x−1)2=(3x)2−(x−1)2=[3x−(x−1)][3x+(x−1)]=(3x−x+1)(3x+x−1)=(2x+1)(4x−1)
Ainsi, A(x)=(2x+1)(4x−1)
B(x) peut encore s'écrire :
B(x)=x2−(√3)2+5x−5√3
Donc, en utilisant la forme factorisée des identités remarquables, on obtient :
B(x)=(x−√3)(x+√3)+5(x−√3)
En prenant (x−√3) comme facteur commun, on trouve :
B(x)=(x−√3)(x+√3)+5(x−√3)=(x−√3)(x+√3+5)
D'où, B(x)=(x−√3)(x+√3+5)
2) Résolvons dans R puis, dans D :
9x2−(x−1)2=(x−7)(2x+1); x−13x+7=1 et B(x)=0
En effet, on remarque que 9x2−(x−1)2=A(x).
Donc, en utilisant la forme factorisée de A(x), on obtient :
9x2−(x−1)2=(x−7)(2x+1)⇔(2x+1)(4x−1)=(x−7)(2x+1)⇔(2x+1)(4x−1)−(x−7)(2x+1)=0⇔[2x+1][(4x−1)−(x−7)]=0⇔(2x+1)(4x−1−x+7)=0⇔(2x+1)(3x+6)=0⇔(2x+1)=0 ou (3x+6)=0⇔2x=−1 ou 3x=−6⇔x=−12 ou x=−63⇔x=−12 ou x=−2
Donc, 9x2−(x−1)2=(x−7)(2x+1) si, et seulement si, x=−12 ou x=−2.
Comme −12 et −2 appartiennent à R alors, l'équation 9x2−(x−1)2=(x−7)(2x+1) a pour solution dans R :
S={−12; −2}
De même, on sait que −12=−0.5 et −2 sont des éléments de D.
Par conséquent, l'équation 9x2−(x−1)2=(x−7)(2x+1) a pour solution dans D :
S={−12; −2}
Soit à résoudre l'équation x−13x+7=1.
En effet, une fraction rationnelle est égale à 1 si, et seulement si, son numérateur est égal à son dénominateur.
Donc, x−13x+7=1 si, et seulement si, x−1=3x+7.
Résolvons alors, l'équation x−1=3x+7.
On a :
x−1=3x+7⇔x−3x=7−1⇔−2x=6⇔x=6−2⇔x=−3
Donc, x−13x+7=1 si, et seulement si, x=−3.
Or, −3 appartient à R et à D.
Par conséquent, l'équation x−13x+7=1 a pour solution dans R et dans D :
S={−3}
Soit à résoudre B(x)=0.
Considérons la forme factorisée de B(x).
Alors, on a : B(x)=0 si, et seulement si, (x−√3)(x+√3+5)=0.
C'est-à-dire ; (x−√3)=0 ou (x+√3+5)=0
Ce qui donne : x=√3 ou x=−√3−5
Comme √3 et −√3−5 appartiennent à R alors, l'équation B(x)=0 a pour solution dans R :
S={−√3−5; √3}
Par ailleurs, on sait que √3 et −√3−5 ne sont pas des éléments de D.
Par conséquent, l'équation B(x)=0 n'admet pas de solutions dans D.
D'où,
S=∅
3) Résolvons dans R l'inéquation (2x+1)(x−2)≥0.
On a : (2x+1)(x−2)=0 si, et seulement si, (2x+1)=0 ou (x−2)=0
Ce qui signifie que : x=−12 ou x=2
Donc,
(2x+1) est positif pour tout x>−12 et négatif pour x<−12
(x−2) est positif pour tout x>2 et négatif pour x<2
Alors, en regroupant ces informations dans un tableau de signes, on obtient :
x−∞−1/22+∞2x+1−0+|+x−2−|−0+(2x+1)(x−2)+0−0+
Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression (2x+1)(x−2) est supérieure ou égale à zéro lorsque x appartient à l'intervalle ]−∞; −12]∪[−2; +∞[.
D'où, l'inéquation (2x+1)(x−2)≥0 a pour solution :S=]−∞; −12]∪[−2; +∞[
En déduire la condition d'existence de f(x)=√(2x+1)(x−2)
En effet, on sait que √a existe si, et seulement si, a≥0.
Donc, en appliquant cette propriété, on a : √(2x+1)(x−2) existe si, et seulement si, (2x+1)(x−2)≥0.
Or, (2x+1)(x−2)≥0 si, et seulement si, x∈]−∞; −12]∪[−2; +∞[.
Par conséquent, f(x)=√(2x+1)(x−2) existe pour tout x appartenant à l'intervalle ]−∞; −12]∪[−2; +∞[.
4) Résolvons dans R, B(x)≤0
En considérant la forme factorisée de B(x), on a :
B(x)≤0 si, et seulement si, (x−√3)(x+√3+5)≥0.
D'après le résultat de la question 2), on a : (x−√3)(x+√3+5)=0 si, et seulement si, x=√3 ou x=−√3−5
Donc,
(x−√3) est positif pour tout x>√3 et négatif pour x<√3
(x+√3+5) est positif pour tout x>−√3−5 et négatif pour x<−√3−5
Alors, en regroupant ces informations dans un tableau de signe, on obtient :
x−∞−√3−5√3+∞x−√3−|−0+x+√3+5−0+|+(x−√3)(x+√3+5)+0−0+
Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression (x−√3)(x+√3+5) est inférieure ou égale à zéro lorsque x appartient à l'intervalle [−√3−5; √3].
Par conséquent, l'inéquation B(x)≤0 a pour solution :S=[−√3−5; √3]
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