Corrigé Exercice 15 : Équations et inéquations du 1er degré à une inconnue 3e

 

1) Factorisons $A(x)=9x^{2}-(x-1)^{2}\ $ et $\ B(x)=x^{2}-3+5x-5\sqrt{3}$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} A(x)&=&9x^{2}-(x-1)^{2}\\\\&=&(3x)^{2}-(x-1)^{2}\\\\&=&[3x-(x-1)][3x+(x-1)]\\\\&=&(3x-x+1)(3x+x-1)\\\\&=&(2x+1)(4x-1)\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{A(x)=(2x+1)(4x-1)}$

 

$B(x)$ peut encore s'écrire :

$$B(x)=x^{2}-(\sqrt{3})^{2}+5x-5\sqrt{3}$$

Donc, en utilisant la forme factorisée des identités remarquables, on obtient :

$$B(x)=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})+5(x-\sqrt{3})$$

En prenant $(x-\sqrt{3})$ comme facteur commun, on trouve :

 

$\begin{array}{rcl} B(x)&=&(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})+5(x-\sqrt{3})\\\\&=&(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}+5)\end{array}$

 

D'où, $\boxed{B(x)=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}+5)}$

 

2) Résolvons dans $\mathbb{R}$ puis, dans $\mathbb{D}\ :$

 

$9x^{2}-(x-1)^{2}=(x-7)(2x+1)\;;\ \dfrac{x-1}{3x+7}=1\ $ et $\ B(x)=0$

 

En effet, on remarque que $9x^{2}-(x-1)^{2}=A(x).$

 

Donc, en utilisant la forme factorisée de $A(x)$, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} 9x^{2}-(x-1)^{2}=(x-7)(2x+1)&\Leftrightarrow&(2x+1)(4x-1)=(x-7)(2x+1)\\\\&\Leftrightarrow&(2x+1)(4x-1)-(x-7)(2x+1)=0\\\\&\Leftrightarrow&[2x+1][(4x-1)-(x-7)]=0\\\\&\Leftrightarrow&(2x+1)(4x-1-x+7)=0\\\\&\Leftrightarrow&(2x+1)(3x+6)=0\\\\&\Leftrightarrow&(2x+1)=0\ \text{ ou }\ (3x+6)=0\\\\&\Leftrightarrow&2x=-1\ \text{ ou }\ 3x=-6\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{-1}{2}\ \text{ ou }\ x=\dfrac{-6}{3}\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{-1}{2}\ \text{ ou }\ x=-2\end{array}$

 

Donc, $9x^{2}-(x-1)^{2}=(x-7)(2x+1)$ si, et seulement si, $x=\dfrac{-1}{2}$ ou $x=-2.$

 

Comme $\dfrac{-1}{2}\ $ et $\ -2$ appartiennent à $\mathbb{R}$ alors, l'équation $9x^{2}-(x-1)^{2}=(x-7)(2x+1)$ a pour solution dans $\mathbb{R}\ :$

$$S=\left\lbrace \dfrac{-1}{2}\;;\ -2\right\rbrace$$

De même, on sait que $\dfrac{-1}{2}=-0.5\ $ et $\ -2$ sont des éléments de $\mathbb{D}.$

 

Par conséquent, l'équation $9x^{2}-(x-1)^{2}=(x-7)(2x+1)$ a pour solution dans $\mathbb{D}\ :$

$$S=\left\lbrace \dfrac{-1}{2}\;;\ -2\right\rbrace$$

Soit à résoudre l'équation $\dfrac{x-1}{3x+7}=1.$

 

En effet, une fraction rationnelle est égale à $1$ si, et seulement si, son numérateur est égal à son dénominateur.

 

Donc, $\dfrac{x-1}{3x+7}=1$ si, et seulement si, $x-1=3x+7.$

 

Résolvons alors, l'équation $x-1=3x+7.$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} x-1=3x+7&\Leftrightarrow&x-3x=7-1\\\\&\Leftrightarrow&-2x=6\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{6}{-2}\\\\&\Leftrightarrow&x=-3\end{array}$

 

Donc, $\dfrac{x-1}{3x+7}=1$ si, et seulement si, $x=-3.$

 

Or, $-3$ appartient à $\mathbb{R}$ et à $\mathbb{D}.$

 

Par conséquent, l'équation $\dfrac{x-1}{3x+7}=1$ a pour solution dans $\mathbb{R}$ et dans $\mathbb{D}\ :$

$$S=\left\lbrace -3\right\rbrace$$

Soit à résoudre $B(x)=0.$

 

Considérons la forme factorisée de $B(x).$

 

Alors, on a : $B(x)=0$ si, et seulement si, $(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}+5)=0.$

 

C'est-à-dire ; $(x-\sqrt{3})=0\ $ ou $\ (x+\sqrt{3}+5)=0$

 

Ce qui donne : $x=\sqrt{3}\ $ ou $\ x=-\sqrt{3}-5$

 

Comme $\sqrt{3}\ $ et $\ -\sqrt{3}-5$ appartiennent à $\mathbb{R}$ alors, l'équation $B(x)=0$ a pour solution dans $\mathbb{R}\ :$

$$S=\left\lbrace -\sqrt{3}-5\;;\ \sqrt{3}\right\rbrace$$

Par ailleurs, on sait que $\sqrt{3}\ $ et $\ -\sqrt{3}-5$ ne sont pas des éléments de $\mathbb{D}.$

 

Par conséquent, l'équation $B(x)=0$ n'admet pas de solutions dans $\mathbb{D}.$

 

D'où,

$$S=\emptyset$$

3) Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $(2x+1)(x-2)\geq 0.$

 

On a : $(2x+1)(x-2)=0$ si, et seulement si, $(2x+1)=0\ $ ou $\ (x-2)=0$

 

Ce qui signifie que : $x=\dfrac{-1}{2}\ $ ou $\ x=2$

 

Donc,

 

$(2x+1)$ est positif pour tout $x>\dfrac{-1}{2}$ et négatif pour $x<\dfrac{-1}{2}$

 

$(x-2)$ est positif pour tout $x>2$ et négatif pour $x<2$

 

Alors, en regroupant ces informations dans un tableau de signes, on obtient :

$$\begin{array}{|c|lclclcr|}\hline x&-\infty&&-1/2&&2&&+\infty\\\hline 2x+1&&-&0&+&|&+&\\\hline x-2& &-&|&-&0&+&\\\hline (2x+1)(x-2)&&\boxed{+}&0&-&0&\boxed{+}&\\\hline\end{array}$$

Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression $(2x+1)(x-2)$ est supérieure ou égale à zéro lorsque $x$ appartient à l'intervalle $\left]-\infty\;;\ \dfrac{-1}{2}\right]\cup\left[-2\;;\ +\infty\right[.$ 

 

D'où, l'inéquation $(2x+1)(x-2)\geq 0$ a pour solution :$$S=\left]-\infty\;;\ \dfrac{-1}{2}\right]\cup\left[-2\;;\ +\infty\right[$$

 

En déduire la condition d'existence de $f(x)=\sqrt{(2x+1)(x-2)}$

 

En effet, on sait que $\sqrt{a}$ existe si, et seulement si, $a\geq 0.$

 

Donc, en appliquant cette propriété, on a : $\sqrt{(2x+1)(x-2)}$ existe si, et seulement si, $(2x+1)(x-2)\geq 0.$

 

Or, $(2x+1)(x-2)\geq 0$ si, et seulement si, $x\in\left]-\infty\;;\ \dfrac{-1}{2}\right]\cup\left[-2\;;\ +\infty\right[.$ 

 

Par conséquent, $f(x)=\sqrt{(2x+1)(x-2)}$ existe pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left]-\infty\;;\ \dfrac{-1}{2}\right]\cup\left[-2\;;\ +\infty\right[.$ 

 

4) Résolvons dans $\mathbb{R}\;,\  B(x)\leq 0$

 

En considérant la forme factorisée de $B(x)$, on a :

 

$B(x)\leq 0$ si, et seulement si, $(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}+5)\geq 0.$

 

D'après le résultat de la question $2)$, on a : $(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}+5)=0$ si, et seulement si, $x=\sqrt{3}\ $ ou $\ x=-\sqrt{3}-5$

 

Donc,

 

$(x-\sqrt{3})$ est positif pour tout $x>\sqrt{3}$ et négatif pour $x<\sqrt{3}$

 

$(x+\sqrt{3}+5)$ est positif pour tout $x>-\sqrt{3}-5$ et négatif pour $x<-\sqrt{3}-5$

 

Alors, en regroupant ces informations dans un tableau de signe, on obtient :

$$\begin{array}{|c|lclclcr|}\hline x&-\infty&&-\sqrt{3}-5&&\sqrt{3}&&+\infty\\\hline x-\sqrt{3}&&-&|&-&0&+&\\\hline x+\sqrt{3}+5& &-&0&+&|&+&\\\hline (x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}+5)&&+&0&\boxed{-}&0&+&\\\hline\end{array}$$

Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression $(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}+5)$ est inférieure ou égale à zéro lorsque $x$ appartient à l'intervalle $\left[-\sqrt{3}-5\;;\ \sqrt{3}\right].$ 

 

Par conséquent, l'inéquation $B(x)\leq 0$ a pour solution :$$S=\left[-\sqrt{3}-5\;;\ \sqrt{3}\right]$$