Corrigé Exercice 15 : Équations et inéquations du 1er degré à une inconnue 3e

Classe: 
Troisième
 

Exercice 15

1) Factorisons A(x)=9x2(x1)2  et  B(x)=x23+5x53
 
On a :
 
A(x)=9x2(x1)2=(3x)2(x1)2=[3x(x1)][3x+(x1)]=(3xx+1)(3x+x1)=(2x+1)(4x1)
 
Ainsi, A(x)=(2x+1)(4x1)
 
B(x) peut encore s'écrire :
B(x)=x2(3)2+5x53
Donc, en utilisant la forme factorisée des identités remarquables, on obtient :
B(x)=(x3)(x+3)+5(x3)
En prenant (x3) comme facteur commun, on trouve :
 
B(x)=(x3)(x+3)+5(x3)=(x3)(x+3+5)
 
D'où, B(x)=(x3)(x+3+5)
 
2) Résolvons dans R puis, dans D :
 
9x2(x1)2=(x7)(2x+1); x13x+7=1  et  B(x)=0
 
En effet, on remarque que 9x2(x1)2=A(x).
 
Donc, en utilisant la forme factorisée de A(x), on obtient :
 
9x2(x1)2=(x7)(2x+1)(2x+1)(4x1)=(x7)(2x+1)(2x+1)(4x1)(x7)(2x+1)=0[2x+1][(4x1)(x7)]=0(2x+1)(4x1x+7)=0(2x+1)(3x+6)=0(2x+1)=0  ou  (3x+6)=02x=1  ou  3x=6x=12  ou  x=63x=12  ou  x=2
 
Donc, 9x2(x1)2=(x7)(2x+1) si, et seulement si, x=12 ou x=2.
 
Comme 12  et  2 appartiennent à R alors, l'équation 9x2(x1)2=(x7)(2x+1) a pour solution dans R :
S={12; 2}
De même, on sait que 12=0.5  et  2 sont des éléments de D.
 
Par conséquent, l'équation 9x2(x1)2=(x7)(2x+1) a pour solution dans D :
S={12; 2}
Soit à résoudre l'équation x13x+7=1.
 
En effet, une fraction rationnelle est égale à 1 si, et seulement si, son numérateur est égal à son dénominateur.
 
Donc, x13x+7=1 si, et seulement si, x1=3x+7.
 
Résolvons alors, l'équation x1=3x+7.
 
On a :
 
x1=3x+7x3x=712x=6x=62x=3
 
Donc, x13x+7=1 si, et seulement si, x=3.
 
Or, 3 appartient à R et à D.
 
Par conséquent, l'équation x13x+7=1 a pour solution dans R et dans D :
S={3}
Soit à résoudre B(x)=0.
 
Considérons la forme factorisée de B(x).
 
Alors, on a : B(x)=0 si, et seulement si, (x3)(x+3+5)=0.
 
C'est-à-dire ; (x3)=0  ou  (x+3+5)=0
 
Ce qui donne : x=3  ou  x=35
 
Comme 3  et  35 appartiennent à R alors, l'équation B(x)=0 a pour solution dans R :
S={35; 3}
Par ailleurs, on sait que 3  et  35 ne sont pas des éléments de D.
 
Par conséquent, l'équation B(x)=0 n'admet pas de solutions dans D.
 
D'où,
S=
3) Résolvons dans R l'inéquation (2x+1)(x2)0.
 
On a : (2x+1)(x2)=0 si, et seulement si, (2x+1)=0  ou  (x2)=0
 
Ce qui signifie que : x=12  ou  x=2
 
Donc,
 
(2x+1) est positif pour tout x>12 et négatif pour x<12
 
(x2) est positif pour tout x>2 et négatif pour x<2
 
Alors, en regroupant ces informations dans un tableau de signes, on obtient :
x1/22+2x+10+|+x2|0+(2x+1)(x2)+00+
Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression (2x+1)(x2) est supérieure ou égale à zéro lorsque x appartient à l'intervalle ]; 12][2; +[. 
 
D'où, l'inéquation (2x+1)(x2)0 a pour solution :S=]; 12][2; +[
 
En déduire la condition d'existence de f(x)=(2x+1)(x2)
 
En effet, on sait que a existe si, et seulement si, a0.
 
Donc, en appliquant cette propriété, on a : (2x+1)(x2) existe si, et seulement si, (2x+1)(x2)0.
 
Or, (2x+1)(x2)0 si, et seulement si, x]; 12][2; +[. 
 
Par conséquent, f(x)=(2x+1)(x2) existe pour tout x appartenant à l'intervalle ]; 12][2; +[. 
 
4) Résolvons dans R, B(x)0
 
En considérant la forme factorisée de B(x), on a :
 
B(x)0 si, et seulement si, (x3)(x+3+5)0.
 
D'après le résultat de la question 2), on a : (x3)(x+3+5)=0 si, et seulement si, x=3  ou  x=35
 
Donc,
 
(x3) est positif pour tout x>3 et négatif pour x<3
 
(x+3+5) est positif pour tout x>35 et négatif pour x<35
 
Alors, en regroupant ces informations dans un tableau de signe, on obtient :
x353+x3|0+x+3+50+|+(x3)(x+3+5)+00+
Ainsi, en observant le tableau, nous constatons que l'expression (x3)(x+3+5) est inférieure ou égale à zéro lorsque x appartient à l'intervalle [35; 3]. 
 
Par conséquent, l'inéquation B(x)0 a pour solution :S=[35; 3]
 
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