Corrigé Exercice 15 : Multiples et diviseurs - 5e

 

a) L'égalité $51=9\times 5+6$ caractérise la division euclidienne de $51$ par $9$ mais ne caractérise pas la division euclidienne de $51$ par $5$

 

Justifions notre réponse.

 

En effet, dans l'égalité $51=9\times 5+6$, le reste $6$ est inférieur $9.$

 

Donc, l'égalité $51=9\times 5+6$ caractérise bien la division euclidienne de $51$ par $9.$

 

Par contre, le reste $6$ est plus grand que $5.$

 

Par conséquent, l'égalité $51=9\times 5+6$ ne caractérise pas la division euclidienne de $51$ par $5.$

 

b) L'égalité $35=4\times 7+7$ ne traduit ni la division euclidienne de $35$ par $4$, ni la division euclidienne de $35$ par $7$

 

Justifions notre réponse.

 

On sait que dans une division euclidienne le reste est toujours inférieur au diviseur.

 

Or, dans la relation $35=4\times 7+7$, le reste $7$ est supérieur au diviseur $4.$

 

Donc, l'égalité $35=4\times 7+7$ ne traduit pas la division euclidienne de $35$ par $4.$

 

Par ailleurs, le reste $7$ est égal au diviseur $7.$

 

D'où, l'égalité $35=4\times 7+7$ ne traduit pas la division euclidienne de $35$ par $7.$

 

c) Donnons si possible le quotient exact de $135$ par $9\;;\ 142$ par $8\;;\ 165$ par $11\;;\ 247$ par $19.$

 

En effet, on dit que le quotient est exact, si le reste de la division euclidienne d'un nombre entier $a$ par un nombre entier $b$ est égal à zéro.

 

Soit $135\div 9$

 

En posant et en effectuant l'opération, on obtient :

$$\begin{array}{l} \ \ 135 \\ -\ 9 \\ \hline\quad\ 45 \\ \ \,-45 \\ \hline\quad\ \ 0\\ \end{array}\ \begin{array}{|l} 9 \\ \hline 15 \\ \\  \\ \\ \end{array}$$

On constate que le reste de la division euclidienne est égal à $0$ donc, le quotient $15$ est exact.

 

Soit $142\div 8$

 

En posant et en effectuant l'opération, on obtient :

$$\begin{array}{l} \ \ 142 \\ -\ 8 \\ \hline\quad\ 62 \\ \ \,-56 \\ \hline\quad\ \ 6\\ \end{array}\ \begin{array}{|l} 8 \\ \hline 17 \\ \\  \\ \\ \end{array}$$

On remarque que le reste de la division euclidienne $6$ est différent de $0.$

 

Par conséquent, ce quotient n'est pas exact.

 

Soit $165\div 11$

 

En posant et en effectuant l'opération, on obtient :

$$\begin{array}{l} \ \ 165 \\ -11 \\ \hline\quad\ 55 \\ \ \,-55 \\ \hline\quad\ \ 0\\ \end{array}\ \begin{array}{|l} 11 \\ \hline 15 \\ \\  \\ \\ \end{array}$$

On constate que le reste de la division euclidienne est égal $0.$

 

Par conséquent, $15$ est un quotient exact.

 

Soit $247\div 19$

 

En posant et en effectuant l'opération, on obtient :

$$\begin{array}{l} \ \ 247 \\ -19 \\ \hline\quad\ 57 \\ \ \,-57 \\ \hline\quad\ \ 0\\ \end{array}\ \begin{array}{|l} 19 \\ \hline 13 \\ \\  \\ \\ \end{array}$$

On remarque que le reste de la division euclidienne est égal $0.$

 

Donc, $13$ est un quotient exact