Corrigé Exercice 16 : Équations et inéquations du 1er degré à une inconnue 3e

 

On considère les expressions :

$$f(x)=(2x+1)^{2}\ \text{ et }\ g(x)=16x^{2}+16x-5$$

1) Développons, réduisons et ordonnons $4f(x).$

 

Pour cela, on développe d'abord $f(x)$ puis, on multiplie la forme développée par le nombre $4.$

 

Soit : $f(x)=(2x+1)^{2}$

 

Alors, en utilisant la forme développée des identités remarquables, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} f(x)&=&(2x+1)^{2}\\\\&=&(2x)^{2}+2\times 1\times 2x+1^{2}\\\\&=&4x^{2}+4x+1\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{f(x)=4x^{2}+4x+1}$

 

Par suite, en multipliant cette forme développée de $f(x)$ par le nombre $4$, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} 4\times f(x)&=&4\times\left(4x^{2}+4x+1\right)\\\\&=&16x^{2}+16x+4\end{array}$

 

D'où, $\boxed{4f(x)=16x^{2}+16x+4}$

 

2) a) Déterminons le réel $c$ tel que $g(x)=4f(x)-c$

 

On sait que :

 

$\begin{array}{rcl} g(x)=4f(x)-c&\Leftrightarrow&g(x)-4f(x)=-c\\\\&\Leftrightarrow&-g(x)+4f(x)=c\end{array}$

 

Donc, $g(x)=4f(x)-c$ si, et seulement si, $c=4f(x)-g(x).$

 

Calculons alors $4f(x)-g(x).$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} c&=&4f(x)-g(x)\\\\&=&16x^{2}+16x+4-(16x^{2}+16x-5)\\\\&=&16x^{2}+16x+4-16x^{2}-16x+5\\\\&=&16x^{2}-16x^{2}+16x-16x+4+5\\\\&=&9\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{c=9}$

 

b) En déduisons une factorisation de $g(x).$

 

Soit : $g(x)=4f(x)-c.$

 

Alors, en multipliant par $4$ la forme factorisée de $f(x)$ et remplaçant $c$ par sa valeur, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} g(x)&=&4f(x)-c\\\\&=&4(2x+1)^{2}-9\\\\&=&[2(2x+1)]^{2}-3^{2}\\\\&=&[2(2x+1)-3][2(2x+1)+3]\\\\&=&(4x+2-3)(4x+2+3)\\\\&=&(4x-1)(4x+5)\end{array}$

 

D'où, $\boxed{g(x)=(4x-1)(4x+5)}$

 

3) On pose : $k(x)=\dfrac{(2x-1)(x-1)}{(1-x)(3x-4)}$

 

a) Déterminons la condition d'existence de $k(x).$

 

$k(x)$ existe si, et seulement si, $(1-x)(3x-4)\neq 0.$

 

Or, un produit de facteurs est différent de zéro si, et seulement si, chaque facteur est non nul.

 

Donc, $(1-x)(3x-4)\neq 0$ si, et seulement si, $(1-x)\neq 0\ $ et $\ (3x-4)\neq 0.$

 

C'est-à-dire ; $x\neq 1\ $ et $\ x\neq\dfrac{4}{3}.$

 

Ainsi, $k(x)$ existe pour tout $x$ différent de $1\ $ et $\ \dfrac{4}{3}.$

 

b) Simplifions $k(x).$

 

Soit : $k(x)=\dfrac{(2x-1)(x-1)}{(1-x)(3x-4)}=\dfrac{(2x-1)(x-1)}{-(x-1)(3x-4)}$

 

Alors, en simplifiant par $(x-1)$, on obtient : $k(x)=\dfrac{(2x-1)}{-(3x-4)}$

 

D'où, $\boxed{k(x)=\dfrac{2x-1}{4-3x}}$

 

c) Résolvons dans $\mathbb{N}\;,\ -4x^{2}+36=0$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} -4x^{2}+36=0&\Leftrightarrow&36-4x^{2}=0\\\\&\Leftrightarrow&6^{2}-(2x)^{2}=0\\\\&\Leftrightarrow&(6-2x)(6+2x)=0\\\\&=&6-2x=0\ \text{ ou }\ 6+2x=0\\\\&\Leftrightarrow&-2x=-6\ \text{ ou }\ 2x=-6\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{-6}{-2}\ \text{ ou }\ x=\dfrac{-6}{2}\\\\&\Leftrightarrow&x=3\ \text{ ou }\ x=-3\end{array}$

 

Donc, $-4x^{2}+36=0$ si, et seulement si, $x=3\ $ ou $\ x=-3.$

 

Or, $3$ appartient à $\mathbb{N}$ mais $-3$ n'appartient pas à $\mathbb{N}.$

 

Par conséquent, l'équation $-4x^{2}+36=0$ a pour solution, dans $\mathbb{N}\ :$

$$S=\left\lbrace 3\right\rbrace$$

d) Résolvons dans $\mathbb{R}\ :\ |k(x)|=1\;,\  (3x-4)(1-x)(-x)<0$

 

En utilisant l'expression simplifiée de $k(x)$, on a : $|k(x)|=1$ si, et seulement si, $\left|\dfrac{2x-1}{4-3x}\right|=1$

 

Alors, en résolvant cette équation, on trouve :

 

$\begin{array}{rcl} \left|\dfrac{2x-1}{4-3x}\right|=1&\Leftrightarrow&\dfrac{2x-1}{4-3x}=1\ \text{ ou }\ \dfrac{2x-1}{4-3x}=-1\\\\&\Leftrightarrow&2x-1=4-3x\ \text{ ou }\ 2x-1=-(4-3x)\\\\&\Leftrightarrow&2x-1=4-3x\ \text{ ou }\ 2x-1=3x-4\\\\&\Leftrightarrow&2x+3x=4+1\ \text{ ou }\ 2x-3x=-4+1\\\\&\Leftrightarrow&5x=5\ \text{ ou }\ -x=-3\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{5}{5}\ \text{ ou }\ x=\dfrac{-3}{-1}\\\\&\Leftrightarrow&x=1\ \text{ ou }\ x=3\end{array}$

 

Donc, $\left|\dfrac{2x-1}{4-3x}\right|=1$ si, et seulement si, $x=1\ $ ou $\ x=3.$

 

Mais, on sait que si, $x=1$ alors, $k(x)$ n'existe pas.

 

Par conséquent, l'équation $|k(x)|=1$ a pour solution : $$S=\left\lbrace 3\right\rbrace$$

 

Soit à résoudre l'inéquation : $(3x-4)(1-x)(-x)<0$

 

On a : $(3x-4)(1-x)(-x)=0$ si, et seulement si, $(3x-4)=0\ $ ou $\ (1-x)=0\ $ ou $\ -x=0$

 

c'est-à-dire ; $x=\dfrac{4}{3}\ $ ou $\ x=1\ $ ou $\ x=0$

 

Alors,

 

$(3x-4)$ est positif pour tout $x>\dfrac{4}{3}$ et négatif pour $x<\dfrac{4}{3}$

 

$(1-x)$ est positif pour tout $x<1$ et négatif pour $x>1$

 

$(-x)$ est positif pour tout $x<0$ et négatif pour $x>0$

 

En regroupant ces informations dans un tableau de signes, on obtient :

$$\begin{array}{|c|lclclclcr|}\hline x&-\infty&&0&&1&&4/3&&+\infty\\\hline 3x-4&&-&|&-&|&-&0&+&\\\hline 1-x& &+&|&+&0&-&|&-&\\\hline -x& &+&0&-&|&-&|&-&\\\hline(3x-4)(1-x)(-x)&&\boxed{-}&0&+&0&\boxed{-}&0&+&\\ \hline\end{array}$$

En observant le tableau, nous constatons que l'expression $(3x-4)(1-x)(-x)$ est strictement inférieure à zéro pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left]-\infty\;;\ 0\right[\cup\left]1\;;\ \dfrac{4}{3}\right[.$

 

Par conséquent, l'inéquation $(3x-4)(1-x)(-x)<0$ a pour solution : $$S=\left]-\infty\;;\ 0\right[\cup\left]1\;;\ \dfrac{4}{3}\right[$$