Corrigé Exercice 17 : Racine carrée 3e

 

1) On donne : $C=\sqrt{5\sqrt{2}-7}\ $ et $\ D=\sqrt{5\sqrt{2}+7}.$

Montrons que $C\ $ et $\ D$ sont inverses.

Pour cela, on va vérifier que $C\times D=1$

On a :

$\begin{array}{rcl} C\times D&=&\sqrt{5\sqrt{2}-7}\times\sqrt{5\sqrt{2}+7}\\\\&=&\sqrt{(5\sqrt{2}-7)\times(5\sqrt{2}+7)}\\\\&=&\sqrt{(5\sqrt{2})^{2}-(7)^{2}}\\\\&=&\sqrt{50-49}\\\\&=&\sqrt{1}\\\\&=&1\end{array}$

Donc, $\boxed{C\times D=1}$

Ce qui montre que $C\ $ et $\ D$ sont inverses.

2) Soit $E=\dfrac{3\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}.$

Rendons rationnel le dénominateur de $E.$

On a :

$\begin{array}{rcl} E&=&\dfrac{3\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\\\\&=&\dfrac{(3\sqrt{2}-1)\times\sqrt{2}}{(\sqrt{2})\times(\sqrt{2})}\\\\&=&\dfrac{3\sqrt{2}\times\sqrt{2}-\sqrt{2}}{2}\\\\&=&\dfrac{3\times 2-\sqrt{2}}{2}\\\\&=&\dfrac{6-\sqrt{2}}{2}\end{array}$

Donc, $\boxed{E=\dfrac{6-\sqrt{2}}{2}}$

Encadrons $E$ à $10^{-2}$ près sachant que $1.414<\sqrt{2}<1.415.$

On a : $1.414<\sqrt{2}<1.415$

Alors, on multiplie chaque membre de l'inégalité par $-1$ en changeant le sens des inégalités.

On obtient :
$$-1.414>-\sqrt{2}>-1.415$$
En ajoutant $6$ à chaque membre, on obtient :
$$6-1.414>6-\sqrt{2}>6-1.415$$
C'est-à-dire ; $4.586>6-\sqrt{2}>4.585$

On divise chaque membre de l'inégalité par le même nombre $2.$

On trouve alors :
$$\dfrac{4.586}{2}>\dfrac{6-\sqrt{2}}{2}>\dfrac{4.585}{2}$$
Ce qui donne : $2.293>\dfrac{6-\sqrt{2}}{2}>2.292$

Ce qui s'écrit encore : $2.292<\dfrac{6-\sqrt{2}}{2}<2.293$

D'où, un encadrement de $E$ à $10^{-2}$ prés est donné par :
$$\boxed{2.29<\dfrac{6-\sqrt{2}}{2}<2.30}$$
3) Soit $F=\sqrt{2}\sqrt{48}-3\sqrt{54}+5\sqrt{6}.$

Montrons que $F=0$

$\begin{array}{rcl} F&=&\sqrt{2}\sqrt{48}-3\sqrt{54}+5\sqrt{6}\\\\&=&\sqrt{2}\times\sqrt{16\times 3}-3\sqrt{9\times 6}+5\sqrt{6}\\\\&=&\sqrt{2}\times\sqrt{16}\times\sqrt{3}-3\sqrt{9}\times\sqrt{6}+5\sqrt{6}\\\\&=&\sqrt{2}\times 4\times\sqrt{3}-3\times 3\times\sqrt{6}+5\sqrt{6}\\\\&=&4\times\sqrt{2}\times\sqrt{3}-9\sqrt{6}+5\sqrt{6}\\\\&=&4\sqrt{2\times 3}-9\sqrt{6}+5\sqrt{6}\\\\&=&4\sqrt{6}-9\sqrt{6}+5\sqrt{6}\\\\&=&9\sqrt{6}-9\sqrt{6}\\\\&=&0\end{array}$

D'où, $\boxed{F=0}$