Corrigé Exercice 18 : Équations et inéquations du 1er degré à une inconnue 3e

 

Un cadet de Gascogne dit à ses amis : "J'ai dépensé $5$ écus de plus que les deux neuvièmes du contenu de ma bourse et il me reste $2$ écus de moins que les deux tiers de ce que j'avais en rentrant dans cette taverne".

 

Déterminons le nombre d'écus qu'il avait dans sa bourse en rentrant dans cette taverne.

 

Nous appelons $x$ le nombre total d'écus contenus dans sa bourse en rentrant dans cette taverne

 

Alors, les deux neuvièmes du contenu de sa bourse sont donnés par :

$$\dfrac{2}{9}x$$

Comme il a dépensé $5$ écus de plus que les deux neuvièmes du contenu de sa bourse alors, cela se traduit mathématiquement par :

$$\dfrac{2}{9}x+5$$

Par ailleurs, les deux tiers de ce qu'il avait en rentrant dans cette taverne sont donnés par :

$$\dfrac{2}{3}x$$

Comme il lui reste $2$ écus de moins que les deux tiers du contenu de sa bourse alors, cela se traduit mathématiquement par :

$$\dfrac{2}{3}x-2$$

On peut ainsi dire que : ce cadet de Gascogne a dépensé $\left(\dfrac{2}{9}x+5\right)$ écus et il lui reste $\left(\dfrac{2}{3}x-2\right)$ écus.

 

Or, le nombre total d'écus est égal à $x.$

 

Donc, on a :

$$\left(\dfrac{2}{9}x+5\right)+\left(\dfrac{2}{3}x-2\right)=x$$

En résolvant cette équation, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} \left(\dfrac{2}{9}x+5\right)+\left(\dfrac{2}{3}x-2\right)=x&\Leftrightarrow&\dfrac{2}{9}x+5+\dfrac{2}{3}x-2=x\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{2}{9}x+\dfrac{2}{3}x-x=-5+2\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{2x}{9}+\dfrac{6x}{9}-\dfrac{9x}{9}=-3\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{2x+6x-9x}{9}=-3\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{-x}{9}=-3\\\\&\Leftrightarrow&-x=-3\times 9\\\\&\Leftrightarrow&-x=-27\\\\&\Leftrightarrow&x=27\end{array}$

 

Donc, $\boxed{x=27}$

 

D'où, ce cadet de Gascogne avait $27$ écus dans sa bourse en rentrant dans cette taverne.