Corrigé Exercice 18 : Multiples et diviseurs - 5e

 

1) Considérons les nombres suivants : $39\;,\ 91\;,\  213\;,\  117\ $ et $\ 36$

 

On a :

 

$-\ $ la division euclidienne de $39$ par $13$ donne : $39=13\times 3+0$

 

Comme le reste est égal à $0$ alors, c'est un quotient exact.

 

D'où, $39$ est divisible par $13$

 

$-\ $ la division euclidienne de $91$ par $13$ donne : $91=13\times 7+0$

 

On remarque que le reste est égal à $0$ donc, le quotient est exact.

 

Par conséquent, $91$ est divisible par $13$

 

$-\ $ la division euclidienne de $213$ par $13$ donne : $213=13\times 16+5$

 

Le reste étant différent de $0$ donc, le quotient n'est pas exact.

 

D'où, $213$ n'est pas divisible par $13$

 

$-\ $ la division euclidienne de $117$ par $13$ donne : $117=13\times 9+0$

 

Comme le reste est égal à $0$ alors, le quotient est exact.

 

Par conséquent, $117$ est divisible par $13$

 

$-\ $ la division euclidienne de $36$ par $13$ donne : $36=13\times 2+10$

 

Comme le reste est différent de $0$ alors, le quotient n'est pas exact.

 

D'où, $36$ n'est pas divisible par $13$

 

2) Trouvons les diviseurs communs aux nombres suivants : $12\ $ et $\ 16\;;\quad 15\ $ et $\ 24\;;\quad 12\;,\ 15\ $ et $\ 24\;;\quad 30\ $ et $\ 45\;;\quad 20\;,\ 30\ $ et $\ 50.$

 

Pour cela, on donne la liste des diviseurs de chaque nombre puis on identifie les diviseurs communs à ces nombres.

 

Les diviseurs de $12$ sont :

$$1\;;\ 2\;;\ 3\;;\ 4\;;\ 6\;;\ 12$$

Les diviseurs de $16$ sont :

$$1\;;\ 2\;;\ 4\;;\ 8\;;\ 16$$

Donc, les diviseurs communs aux nombres $12\ $ et $\ 16$ sont :

$$1\;;\ 2\;;\ 4$$

Les diviseurs de $15$ sont :

$$1\;;\ 3\;;\ 5\;;\ 15$$

Les diviseurs de $24$ sont :

$$1\;;\ 2\;;\ 3\;;\ 4\;;\ 6\;;\ 8\;;\ 12\;;\ 24$$

Ainsi, les diviseurs communs aux nombres $15\ $ et $\ 24$ sont :

$$1\;;\ 3$$

Par suite, les diviseurs communs aux nombres $12\ \;,\ 15\ $ et $\ 24$ sont :

$$1\;;\ 3$$

Les diviseurs de $30$ sont :

$$1\;;\ 2\;;\ 3\;;\ 5\;;\ 6\;;\ 10\;;\ 15\;;\ 30$$

Les diviseurs de $45$ sont :

$$1\;;\ 3\;;\ 5\;;\ 9\;;\ 15\;;\ 45$$

Donc, les diviseurs communs aux nombres $30\ $ et $\ 45$ sont :

$$1\;;\ 3\;;\ 5\;;\ 15$$

Les diviseurs de $20$ sont :

$$1\;;\ 2\;;\ 4\;;\ 5\;;\ 10\;;\ 20$$

Les diviseurs de $50$ sont :

$$1\;;\ 2\;;\ 5\;;\ 10\;;\ 25\;;\ 50$$

Par suite, les diviseurs communs aux nombres $20\ \;,\ 30\ $ et $\ 50$ sont :

$$1\;;\ 2\;;\ 5\;;\ 10$$