Corrigé Exercice 18 : Racine carrée 3e

 

1) On pose $a=1+\sqrt{5}\ $ et $\ b=1-\sqrt{3}$ ; calculons $a^{2}\ $ et $\ b^{2}.$

On a :

$\begin{array}{rcl} a^{2}&=&(1+\sqrt{5})^{2}\\\\&=&(1)^{2}+2\times 1\times\sqrt{5}+(\sqrt{5})^{2}\\\\&=&1+2\sqrt{5}+5\\\\&=&6+2\sqrt{5}\end{array}$

Donc, $\boxed{a^{2}=6+2\sqrt{5}}$

On a :

$\begin{array}{rcl} b^{2}&=&(1-\sqrt{3})^{2}\\\\&=&(1)^{2}-2\times 1\times\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}\\\\&=&1-2\sqrt{3}+3\\\\&=&4-2\sqrt{3}\end{array}$

Alors, $\boxed{b^{2}=4-2\sqrt{3}}$

2) Simplifions $c=\dfrac{1+\sqrt{5}}{6+2\sqrt{5}}$ puis rendons rationnel son dénominateur.

On remarque que le numérateur de $c$ est égal à $a$ et son dénominateur est égal à $a^{2}.$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl} c&=&\dfrac{1+\sqrt{5}}{6+2\sqrt{5}}\\\\&=&\dfrac{a}{a^{2}}\\\\&=&\dfrac{1}{a}\\\\&=&\dfrac{1}{1+\sqrt{5}}\end{array}$

D'où, $\boxed{c=\dfrac{1}{1+\sqrt{5}}}$

Rendons rationnel le dénominateur.

On a :

$\begin{array}{rcl} c&=&\dfrac{1}{1+\sqrt{5}}\\\\&=&\dfrac{1\times(1-\sqrt{5})}{(1+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})}\\\\&=&\dfrac{1-\sqrt{5}}{(1)^{2}-(\sqrt{5})^{2}}\\\\&=&\dfrac{1-\sqrt{5}}{1-5}\\\\&=&\dfrac{1-\sqrt{5}}{-4}\\\\&=&-\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}\end{array}$

3) Calculons $a\times c.$

En multipliant $a$ par $c$, on obtient :

$\begin{array}{rcl} a\times c&=&(1+\sqrt{5})\times\dfrac{1}{1+\sqrt{5}}\\\\&=&\dfrac{1+\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}\\\\&=&1\end{array}$

Ainsi, $\boxed{a\times c=1}$

Comme $a\times c=1$ alors, $a$ est l'inverse de $c.$

4) On donne : $A=\sqrt{(6-2\sqrt{5})^{2}-2(6-2\sqrt{5})(3+3\sqrt{5})+(3+3\sqrt{5})^{2}}$

a) Simplifions $A.$

On constate que $(6-2\sqrt{5})^{2}-2(6-2\sqrt{5})(3+3\sqrt{5})+(3+3\sqrt{5})^{2}$ est de la forme $a^{2}-2a.b+b^{2}$ avec $a=(6-2\sqrt{5})\ $ et $\ b=(3+3\sqrt{5}).$

Or, d'après une propriété des identités remarquables, on a :
$$a^{2}-2a.b+b^{2}=(a-b)^{2}$$
Donc,

$\begin{array}{rcl} (6-2\sqrt{5})^{2}-2(6-2\sqrt{5})(3+3\sqrt{5})+(3+3\sqrt{5})^{2}&=&((6-2\sqrt{5})-(3+3\sqrt{5}))^{2}\\\\&=&(6-2\sqrt{5}-3-3\sqrt{5})^{2}\\\\&=&(3-5\sqrt{5})^{2}\end{array}$

Par suite,

$\begin{array}{rcl} A&=&\sqrt{(6-2\sqrt{5})^{2}-2(6-2\sqrt{5})(3+3\sqrt{5})+(3+3\sqrt{5})^{2}}\\\\&=&\sqrt{(3-5\sqrt{5})^{2}}\\\\&=&\left|3-5\sqrt{5}\right|\end{array}$

Cherchons alors le signe de $(3-5\sqrt{5})$

Pour cela, comparons $3\ $ et $\ 5\sqrt{5}$

On a : $3>0\ $ et $\ 5\sqrt{5}>0$

Alors, $3^{2}=9\ $ et $\ (5\sqrt{5})^{2}=125$

Comme $125$ est plus grand que $9$ alors, $3<5\sqrt{5}$

D'où, $3-5\sqrt{5}<0$

Ce qui entraine : $\left|3-5\sqrt{5}\right|=-(3-5\sqrt{5})=-3+5\sqrt{5}$

Par conséquent, $\boxed{A=-3+5\sqrt{5}}$

b) Donnons la valeur approchée de $A$ à $10^{-2}$ près par défaut sachant que $2.236<\sqrt{5}< 2.237.$

Alors, multiplions chaque membre de l'inégalité par $5.$

On obtient alors :
$$5\times 2.236<5\sqrt{5}<5\times 2.237$$
Ce qui donne : $11.180<5\sqrt{5}<11.185$

Ajoutons $-3$ à chaque membre.

On trouve alors :
$$-3+11.180<-3+5\sqrt{5}<-3+11.185$$
Ainsi, on obtient :
$$8.180<-3+5\sqrt{5}<8.185$$
D'où, une valeur approchée de $A$ à $10^{-2}$ près par défaut est : $8.18$