Corrigé Exercice 19 : Symétrie centrale 5e

 

1) Construisons  le triangle $ABC$ tel que

$$AB=4.5\;cm\;;\ AC=6\;cm\ \text{et}\ BC=4\;cm$$

2) Plaçons les symétriques $A'\ $ et $\ C'$ respectifs de points $A\ $ et $\ C$ par rapport au point $B.$

 

3) Construisons le symétrique du triangle $ABC$ par rapport à $B.$

 

D'après le résultat de $2)$, on a : $S_{B}(A)=A'\ $ et $\ S_{B}(C)=C'$

 

Aussi, on sait que : $S_{B}(B)=B$

 

On trace alors le triangle $A'BC'$ qui est le symétrique du triangle $ABC$ par rapport au point $B.$

 

4) Justifions que les segments $[AC]\ $ et $\ [A'C']$ ont même longueur.

 

On a : $A'$ symétrique de $A$ par rapport à $B\ $ et $\ C'$ symétrique de $C$ par rapport à $B$ donc, $[A'C']$ est le symétrique du segment $[AC]$ par rapport à $B.$

 

Or, on sait que : le symétrique d'un segment par rapport à un point est un segment de même longueur.

 

Par conséquent, les segments $[AC]\ $ et $\ [A'C']$ ont même longueur.

 

5) L'angle $\widehat{BA'C'}$ a la même mesure que l'angle $\widehat{BAC}$

 

En effet, $\widehat{BA'C'}$ est le symétrique de l'angle $\widehat{BAC}$ par rapport à $B.$

 

Or, on sait que la symétrie centrale conserve les angles. ce qui signifie que le symétrique d'un angle par rapport à un point est un angle de même mesure.

 

Donc, $\widehat{BA'C'}$ a la même mesure que l'angle $\widehat{BAC}.$