Corrigé Exercice 2 : Équations et inéquations du 1er degré à une inconnue 3e

 

Résolvons dans $\mathbb{R}$ chacune des équations suivantes : 

 

a) $|3x-4|=2$ si, et seulement si, $3x-4=2\ $ ou $\ 3x-4=-2$

 

On aura alors, $3x=2+4=6\ $ ou $\ 3x=-2+4=2$ ; 

 

Soit encore $x=\dfrac{6}{3}=2\ $ ou $\ x=\dfrac{2}{3}$

 

D'où, $$S=\left\{2\;;\ \dfrac{2}{3}\right\}$$

b) $|3x+7|=-3$ 

 

La valeur absolue n'est jamais négative donc, cette équation n'admet pas de solution.

$$S=\emptyset$$

c) $|15x-3\sqrt{2}|=2\sqrt{2}$ si, et seulement si, $15x-3\sqrt{2}=2\sqrt{2}\ $ ou $\ 15x-3\sqrt{2}=-2\sqrt{2}$

 

On aura alors, $15x=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}\ $ ou $\ 15x=-2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=\sqrt{2}$ ; 

 

Ainsi, $x=\dfrac{5\sqrt{2}}{15}=\dfrac{\sqrt{2}}{3}\ $ ou $\ x=\dfrac{\sqrt{2}}{15}$

 

D'où, $$S=\left\{\dfrac{\sqrt{2}}{3}\;;\ \dfrac{\sqrt{2}}{15}\right\}$$

d) $|3x-4|=\left|x-\dfrac{2}{3}\right|$ si, et seulement si, 

 

$3x-4=x-\dfrac{2}{3}\ $ ou $\ 3x-4=-\left(x-\dfrac{2}{3}\right)=-x+\dfrac{2}{3}$

 

Cela donne alors, $3x-x=-\dfrac{2}{3}+4=\dfrac{12-2}{3}\ $ ou $\ 3x+x=\dfrac{2}{3}+4=\dfrac{12+2}{3}$ ; 

 

Donc, $2x=\dfrac{10}{3}\ $ ou $\ 4x=\dfrac{14}{3}$

 

Soit encore $x=\dfrac{\dfrac{10}{3}}{2}=\dfrac{10}{3\times 2}=\dfrac{5}{3}\ $ ou $\ x=\dfrac{\dfrac{14}{3}}{4}=\dfrac{14}{3\times 4}=\dfrac{7}{6}$

 

D'où, $$S=\left\{\dfrac{5}{3}\;;\ \dfrac{7}{6}\right\}$$

e) $\sqrt{(\sqrt{2}x-3)^{2}}=\sqrt{(-3x+5)^{2}}$

 

On sait que $\sqrt{(\sqrt{2}x-3)^{2}}=|\sqrt{2}x-3|\ $ et $\ \sqrt{(-3x+5)^{2}}=|-3x+5|$

 

Donc, résoudre l'équation $\sqrt{(\sqrt{2}x-3)^{2}}=\sqrt{(-3x+5)^{2}}$ revient tout simplement à résoudre l'équation suivante : $$|\sqrt{2}x-3|=|-3x+5|$$

On a : $|\sqrt{2}x-3|=|-3x+5|$ si, et seulement si, $\sqrt{2}x-3=-3x+5\ $ ou $\ \sqrt{2}x-3=3x-5$ 

 

Alors, $\sqrt{2}x+3x=5+3=8\ $ ou $\ \sqrt{2}x-3x=-5+3=-2$

 

On aura donc, $x(\sqrt{2}+3)=8\ $ ou $\ x(\sqrt{2}-3)=-2$ 

 

Soit encore $x=\dfrac{8}{\sqrt{2}+3}\ $ ou $\ x=\dfrac{-2}{\sqrt{2}-3}$

 

En rendant rationnel les dénominateurs, on obtient :

 

$x=\dfrac{8(\sqrt{2}-3)}{(\sqrt{2}+3)(\sqrt{2}-3)}\ $ ou $\ x=\dfrac{-2(\sqrt{2}+3)}{(\sqrt{2}-3)(\sqrt{2}+3)}$

 

Soit $x=\dfrac{8(\sqrt{2}-3)}{2-9}=-\dfrac{8(\sqrt{2}-3)}{7}\ $ ou $\ x=\dfrac{-2(\sqrt{2}+3)}{2-9}=\dfrac{2(\sqrt{2}+3)}{7}$

 

D'où, $$S=\left\{-\dfrac{8(\sqrt{2}-3)}{7}\;;\ \dfrac{2(\sqrt{2}+3)}{7}\right\}$$