Corrigé Exercice 2 : Calcul algébrique 3e

 

Nous allons développer, réduire puis ordonner chacune des expressions suivantes :

 

Soit : $a(x)=(3x+1)^{2}-(x-5)^{2}.$

 

Alors, en développant, on trouve :

 

$\begin{array}{rcl} a(x)&=&(3x+1)^{2}-(x-5)^{2}\\\\&=&(3x)^{2}+2\times 3x\times 1+1^{2}-(x^{2}-2\times x\times 5+5^{2})\\\\&=&9x^{2}+6x+1-(x^{2}-10x+25)\\\\&=&9x^{2}+6x+1-x^{2}+10x-25\\\\&=&8x^{2}+16x-24\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{a(x)=8x^{2}+16x-24}$

 

Soit : $b(x)=(4x-3)(4x-3)+(6x-5)^{2}.$

 

Alors, en développant, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} b(x)&=&(4x-3)(4x-3)+(6x-5)^{2}\\\\&=&(4x-3)^{2}+(6x-5)^{2}\\\\ &=&(4x)^{2}-2\times 4x\times 3+3^{2}+[(6x)^{2}-2\times 6x\times 5+5^{2}]\\\\&=&16x^{2}-24x+9+(36x^{2}-60x+25)\\\\&=&16x^{2}-24x+9+36x^{2}-60x+25\\\\&=&52x^{2}-84x+34\end{array}$

 

D'où, $\boxed{b(x)=52x^{2}-84x+34}$

 

Soit : $c(x)=(x-9)(3x+5)^{2}.$

 

Alors, en développant, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} c(x)&=&(x-9)(3x+5)^{2}\\\\&=&(x-9)[(3x)^{2}+2\times 3x\times 5+5^{2}]\\\\ &=&(x-9)(9x^{2}+30x+25)\\\\&=&x(9x^{2}+30x+25)-9(9x^{2}+30x+25)\\\\&=&9x^{3}+30x^{2}+25x-(81x^{2}+270x+225)\\\\&=&9x^{3}+30x^{2}+25x-81x^{2}-270x-225\\\\&=&9x^{3}-51x^{2}-245x-225\end{array}$

 

Donc, $\boxed{c(x)=9x^{3}-51x^{2}-245x-225}$

 

Soit : $d(x)=(2x-\sqrt{7})(2x+\sqrt{7})-(3x+\sqrt{5})(x+2\sqrt{5}).$

 

Alors, en développant, on trouve :

 

$\begin{array}{rcl} d(x)&=&(2x-\sqrt{7})(2x+\sqrt{7})-(3x+\sqrt{5})(x+2\sqrt{5})\\\\&=&(2x)^{2}-(\sqrt{7})^{2}-(3x\times x+3x\times 2\sqrt{5}+\sqrt{5}\times x+\sqrt{5}\times 2\sqrt{5})\\\\&=&4x^{2}-7-(3x^{2}+6x\sqrt{5}+x\sqrt{5}+10)\\\\&=&4x^{2}-7-3x^{2}-6x\sqrt{5}-x\sqrt{5}-10\\\\&=&x^{2}-7x\sqrt{5}-17\end{array}$

 

D'où, $\boxed{d(x)=x^{2}-7x\sqrt{5}-17}$

 

Soit : $e(x)=7x(2x\sqrt{3}-3)^{2}+8x^{3}-7x^{2}\sqrt{3}.$

 

En développant, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} e(x)&=&7x(2x\sqrt{3}-3)^{2}+8x^{3}-7x^{2}\sqrt{3}\\\\&=&7x[(2x\sqrt{3})^{2}-2\times 2x\sqrt{3}\times 3+3^{2}]+8x^{3}-7x^{2}\sqrt{3}\\\\&=&7x(4x^{2}\times 3-12x\sqrt{3}+9)+8x^{3}-7x^{2}\sqrt{3}\\\\&=&84x^{3}-84x^{2}\sqrt{3}+63x+8x^{3}-7x^{2}\sqrt{3}\\\\&=&92x^{3}-91x^{2}\sqrt{3}+63x\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{e(x)=92x^{3}-91x^{2}\sqrt{3}+63x}$