Corrigé Exercice 20 : Racine carrée 3e

 

On donne : $a=\sqrt{7+4\sqrt{3}}\ $ et $\ b=\sqrt{7-4\sqrt{3}}$

1) Calculons $a^{2}\;;\ b^{2}\;;\ a\times b\;;\ (a+b)^{2}\ $ et $\ (a-b)^{2}$

On a :

$$$\begin{array}{rcl}{a}^2& =& {\left(\sqrt{7+4\sqrt{3}}\right)}^2\\ \\ & =& 7+4\sqrt{3}\end{array}$$$

Donc, $\boxed{a^{2}=7+4\sqrt{3}}$

On a :

$$$\begin{array}{rcl}{b}^2& =& {\left(\sqrt{7-4\sqrt{3}}\right)}^2\\ \\ & =& 7-4\sqrt{3}\end{array}$$$

Alors, $\boxed{b^{2}=7-4\sqrt{3}}$

On a :

$$$\begin{array}{rcl}a\times b& =& \sqrt{7+4\sqrt{3}}\times \sqrt{7-4\sqrt{3}}\\ \\ & =& \sqrt{(7+4\sqrt{3})\times (7-4\sqrt{3})}\\ \\ & =& \sqrt{(7{)}^2-(4\sqrt{3}{)}^2}\\ \\ & =& \sqrt{49-16\times 3}\\ \\ & =& \sqrt{49-48}\\ \\ & =& \sqrt{1}\\ \\ & =& 1\end{array}$$$

Ainsi, $\boxed{a\times b=1}$

On a :

$$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^2& =& a^2+2\times a\times b+b^2\\ \\ & =& 7+4\sqrt{3}+2\times 1+7-4\sqrt{3}\\ \\ & =& 7+2+7\\ \\ & =& 16\end{array}$$$

Donc, $\boxed{(a+b)^{2}=16}$

On a :

$$$\begin{array}{rcl}(a-b{)}^2& =& a^2-2\times a\times b+b^2\\ \\ & =& 7+4\sqrt{3}-2\times 1+7-4\sqrt{3}\\ \\ & =& 7-2+7\\ \\ & =& 12\end{array}$$$

D'où, $\boxed{(a-b)^{2}=12}$

2) En déduisons $a+b\ $ et $\ a-b$

D'après le résultat de la question $1)$, on a : $(a+b)^{2}=16.$

Ce qui entraine : $\sqrt{(a+b)^{2}}=\sqrt{16}=4$

Or, on sait que : $\sqrt{(a+b)^{2}}=|a+b|$

Donc, on a : $|a+b|=4$

Ce qui signifie que : $a+b=4$ ou bien $a+b=-4$

Mais comme $a\ $ et $\ b$ sont tous les deux positifs alors, leur somme $a+b$ est aussi positif.

Donc, $a+b$ prend la valeur $4$ qui est positive.

D'où, $\boxed{a+b=4}$

Aussi, d'après le résultat de la question $1)$, on a : $(a-b)^{2}=12.$

Ce qui entraine : $\sqrt{(a-b)^{2}}=\sqrt{12}$

Comme $\sqrt{(a-b)^{2}}=|a-b|$ alors, on a : $|a-b|=\sqrt{12}$

Ce qui signifie que : $a-b=\sqrt{12}$ ou bien $a-b=-\sqrt{12}$

Cherchons alors le signe de $a-b$ en comparant $a\ $ et $\ b.$

On a : $a>0\ $ et $\ b>0$

Alors, $a^{2}=7+4\sqrt{3}\ $ et $\ b^{2}=7-4\sqrt{3}$

On remarque que $a^{2}$ est plus grand que $b^{2}.$

Donc, $a$ est supérieur à $b.$

Ce qui signifie que : $a-b$ est positif.

Par conséquent, $a-b$ prend la valeur $\sqrt{12}$ qui est positive.

D'où, $\boxed{a-b=\sqrt{12}=2\sqrt{3}}$