Corrigé Exercice 20 : Racine carrée 3e
Exercice 20 "BFEM 2008"
1) Calculons a2; b2; a×b; (a+b)2 et (a−b)2
On a :
a2=(√7+4√3)2=7+4√3
Donc, a2=7+4√3
On a :
b2=(√7−4√3)2=7−4√3
Alors, b2=7−4√3
On a :
a×b=√7+4√3×√7−4√3=√(7+4√3)×(7−4√3)=√(7)2−(4√3)2=√49−16×3=√49−48=√1=1
Ainsi, a×b=1
On a :
(a+b)2=a2+2×a×b+b2=7+4√3+2×1+7−4√3=7+2+7=16
Donc, (a+b)2=16
On a :
(a−b)2=a2−2×a×b+b2=7+4√3−2×1+7−4√3=7−2+7=12
D'où, (a−b)2=12
2) En déduisons a+b et a−b
D'après le résultat de la question 1), on a : (a+b)2=16.
Ce qui entraine : √(a+b)2=√16=4
Or, on sait que : √(a+b)2=|a+b|
Donc, on a : |a+b|=4
Ce qui signifie que : a+b=4 ou bien a+b=−4
Mais comme a et b sont tous les deux positifs alors, leur somme a+b est aussi positif.
Donc, a+b prend la valeur 4 qui est positive.
D'où, a+b=4
Aussi, d'après le résultat de la question 1), on a : (a−b)2=12.
Ce qui entraine : √(a−b)2=√12
Comme √(a−b)2=|a−b| alors, on a : |a−b|=√12
Ce qui signifie que : a−b=√12 ou bien a−b=−√12
Cherchons alors le signe de a−b en comparant a et b.
On a : a>0 et b>0
Alors, a2=7+4√3 et b2=7−4√3
On remarque que a2 est plus grand que b2.
Donc, a est supérieur à b.
Ce qui signifie que : a−b est positif.
Par conséquent, a−b prend la valeur √12 qui est positive.
D'où, a−b=√12=2√3
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