Corrigé Exercice 20 : Racine carrée 3e

Classe: 
Troisième
 

Exercice 20 "BFEM 2008"

On donne : a=7+43  et  b=743

1) Calculons a2; b2; a×b; (a+b)2  et  (ab)2

On a :

a2=(7+43)2=7+43

Donc, a2=7+43

On a :

b2=(743)2=743

Alors, b2=743

On a :

a×b=7+43×743=(7+43)×(743)=(7)2(43)2=4916×3=4948=1=1

Ainsi, a×b=1

On a :

(a+b)2=a2+2×a×b+b2=7+43+2×1+743=7+2+7=16

Donc, (a+b)2=16

On a :

(ab)2=a22×a×b+b2=7+432×1+743=72+7=12

D'où, (ab)2=12

2) En déduisons a+b  et  ab

D'après le résultat de la question 1), on a : (a+b)2=16.

Ce qui entraine : (a+b)2=16=4

Or, on sait que : (a+b)2=|a+b|

Donc, on a : |a+b|=4

Ce qui signifie que : a+b=4 ou bien a+b=4

Mais comme a  et  b sont tous les deux positifs alors, leur somme a+b est aussi positif.

Donc, a+b prend la valeur 4 qui est positive.

D'où, a+b=4

Aussi, d'après le résultat de la question 1), on a : (ab)2=12.

Ce qui entraine : (ab)2=12

Comme (ab)2=|ab| alors, on a : |ab|=12

Ce qui signifie que : ab=12 ou bien ab=12

Cherchons alors le signe de ab en comparant a  et  b.

On a : a>0  et  b>0

Alors, a2=7+43  et  b2=743

On remarque que a2 est plus grand que b2.

Donc, a est supérieur à b.

Ce qui signifie que : ab est positif.

Par conséquent, ab prend la valeur 12 qui est positive.

D'où, ab=12=23

 

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