Corrigé Exercice 21 : Équations et inéquations du 1er degré à une inconnue 3e

 

"Un homme est entré dans un verger et a cueilli des fruits. Mais le verger avait trois portes et chacune était gardé par un gardien. Cet homme donc partagea en deux ses fruits avec le premier et lui en donne deux de plus ; puis il partagea le reste avec le second et lui en donne deux de plus, enfin il fit de même avec le troisième. Il sortit du jardin avec un seul fruit.

 

Déterminons le nombre de fruits qu'il avait cueilli.

 

Nous appelons $x$ le nombre total de fruits cueillis par cet homme.

 

$-\ $ à la première porte, il partage ses $x$ fruits avec le premier gardien.

 

Donc, il dispose de $\dfrac{x}{2}$ fruits.

 

Mais comme il donne $2$ fruits de plus au gardien alors, le nombre de fruits qui lui reste est égal à :

$$\dfrac{x}{2}-2$$

$-\ $ à la deuxième porte, il partage ses $\left(\dfrac{x}{2}-2\right)$ fruits avec le second gardien.

 

Donc, il dispose de $\dfrac{\left(\dfrac{x}{2}-2\right)}{2}$ fruits. C'est-à-dire ; $\left(\dfrac{x}{4}-1\right)$ fruits.

 

Mais comme il donne $2$ fruits de plus au gardien alors, le nombre de fruits qui lui reste est donné par :

$$\left(\dfrac{x}{4}-1\right)-2=\dfrac{x}{4}-3$$

$-\ $ à la troisième porte, il partage ses $\left(\dfrac{x}{4}-3\right)$ fruits avec le troisième gardien.

 

Ce qui donne : $\dfrac{\left(\dfrac{x}{4}-3\right)}{2}$ fruits. C'est-à-dire ; $\left(\dfrac{x}{8}-\dfrac{3}{2}\right)$ fruits.

 

Mais comme il donne $2$ fruits de plus au gardien alors, le nombre de fruits qui lui reste, à sa sortie du verger, est de :

$$\left(\dfrac{x}{8}-\dfrac{3}{2}\right)-2=\dfrac{x}{8}-\dfrac{3}{2}-2$$

On sait par ailleurs, qu'il est sorti du jardin avec un seul fruit.

 

Ce qui signifie que le nombre de fruits qui lui reste, à sa sortie du verger, est égal à : $1$

 

Ce qui se traduit par :

$$\dfrac{x}{8}-\dfrac{3}{2}-2=1$$

En résolvant cette équation, on trouve la valeur de $x.$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} \dfrac{x}{8}-\dfrac{3}{2}-2=1&\Leftrightarrow&\dfrac{x}{8}=1+\dfrac{3}{2}+2\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{x}{8}=\dfrac{2}{2}+\dfrac{3}{2}+\dfrac{4}{2}\\\\&\Leftrightarrow&\dfrac{x}{8}=\dfrac{9}{2}\\\\&\Leftrightarrow&2\times x=9\times 8\\\\&\Leftrightarrow&2x=72\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{72}{2}\\\\&\Leftrightarrow&x=36\end{array}$

 

Donc, $\boxed{x=36}$

 

Ce qui veut dire que cet homme avait cueilli $36$ fruits dans ce verger.