Corrigé Exercice 21 : Racine carrée 3e

 

Soit $A=\sqrt{2}-3\ $ et $\ B=\dfrac{5\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$

1) Calculons $A^{2}$ puis rendons rationnel le dénominateur de $B.$

On a :

$$$\begin{array}{rcl}{A}^2& =& (\sqrt{2}-3{)}^2\\ \\ & =& (\sqrt{2}{)}^2-2\times 3\times \sqrt{2}+(3{)}^2\\ \\ & =& 2-6\sqrt{2}+9\\ \\ & =& 11-6\sqrt{2}\end{array}$$$

Donc, $\boxed{A^{2}=11-6\sqrt{2}}$

Pour rendre rationnel le dénominateur de $B$, on multiplie son numérateur et son dénominateur par le même nombre $\sqrt{2}-1.$

Alors, on a :

$$$\begin{array}{rcl}B& =& {\displaystyle \frac{5\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{(5\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{5\sqrt{2}\times \sqrt{2}-5\sqrt{2}-\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}{)}^2-(1{)}^2}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{5\times 2-6\sqrt{2}+1}{2-1}}\\ \\ & =& {\displaystyle \frac{10-6\sqrt{2}+1}{1}}\\ \\ & =& 11-6\sqrt{2}+1\end{array}$$$

Ainsi, $\boxed{B=11-6\sqrt{2}}$

2) En déduisons une écriture simplifiée de $\sqrt{B}.$

D'après le résultat de la question $1)$, on constate $B$ est égal à $A^{2}.$

Donc, $\sqrt{B}=\sqrt{A^{2}}=|A|$

Cherchons le signe de $A$ en comparant $\sqrt{2}\ $ et $\ 3.$

Comme $\sqrt{2}\ $ et $\ 3$ sont tous les deux positifs alors, comparons leur carré.

On a : $(\sqrt{2})^{2}=2\ $ et $\ 3^{2}=9$

Or, $2$ est plus petit que $9$ donc, $\sqrt{2}<3$

Ce qui entraine : $\sqrt{2}-6<0.$

Ce qui signifie que : $A$ est négatif.

Ainsi, $|A|=-A$

Donc,

$$$\begin{array}{rcl}\sqrt{B}& =& |A|\\ \\ & =& -A\\ \\ & =& -(\sqrt{2}-3)\\ \\ & =& -\sqrt{2}+3\end{array}$$$

D'où, $\boxed{\sqrt{B}=3-\sqrt{2}}$

Résolvons dans $\mathbb{R}$, l'équation :
$$(\sqrt{2}+1)x^2-5\sqrt{2}+1=0$$
On a :

$$$\begin{array}{rcl}(\sqrt{2}+1)x^2-5\sqrt{2}+1=0& \iff & (\sqrt{2}+1)x^2=-(-5\sqrt{2}+1)\\ \\ & \iff & (\sqrt{2}+1)x^2=5\sqrt{2}-1\\ \\ & \iff & x^2={\displaystyle \frac{5\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}\\ \\ & \iff & x^2=B\\ \\ & \iff & \sqrt{x^2}=\sqrt{B}\\ \\ & \iff & |x|=\sqrt{B}\\ \\ & \iff & x=\sqrt{B}\text{ ou bien }x=-\sqrt{B}\\ \\ & \iff & x=3-\sqrt{2}\text{ ou bien }x=-(3-\sqrt{2})\\ \\ & \iff & x=3-\sqrt{2}\text{ ou bien }x=-3+\sqrt{2}\end{array}$$$

D'où, $\boxed{S=\left\lbrace 3-\sqrt{2}\;;\ -3+\sqrt{2}\right\rbrace}$