Corrigé Exercice 21 : Racine carrée 3e

 

Soit $A=\sqrt{2}-3\ $ et $\ B=\dfrac{5\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$

1) Calculons $A^{2}$ puis rendons rationnel le dénominateur de $B.$

On a :

$\begin{array}{rcl} A^{2}&=&(\sqrt{2}-3)^{2}\\\\&=&(\sqrt{2})^{2}-2\times 3\times\sqrt{2}+(3)^{2}\\\\&=&2-6\sqrt{2}+9\\\\&=&11-6\sqrt{2}\end{array}$

Donc, $\boxed{A^{2}=11-6\sqrt{2}}$

Pour rendre rationnel le dénominateur de $B$, on multiplie son numérateur et son dénominateur par le même nombre $\sqrt{2}-1.$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl} B&=&\dfrac{5\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\\\\&=&\dfrac{(5\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}\\\\&=&\dfrac{5\sqrt{2}\times\sqrt{2}-5\sqrt{2}-\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2})^{2}-(1)^{2}}\\\\&=&\dfrac{5\times 2-6\sqrt{2}+1}{2-1}\\\\&=&\dfrac{10-6\sqrt{2}+1}{1}\\\\&=&11-6\sqrt{2}+1\end{array}$

Ainsi, $\boxed{B=11-6\sqrt{2}}$

2) En déduisons une écriture simplifiée de $\sqrt{B}.$

D'après le résultat de la question $1)$, on constate $B$ est égal à $A^{2}.$

Donc, $\sqrt{B}=\sqrt{A^{2}}=|A|$

Cherchons le signe de $A$ en comparant $\sqrt{2}\ $ et $\ 3.$

Comme $\sqrt{2}\ $ et $\ 3$ sont tous les deux positifs alors, comparons leur carré.

On a : $(\sqrt{2})^{2}=2\ $ et $\ 3^{2}=9$

Or, $2$ est plus petit que $9$ donc, $\sqrt{2}<3$

Ce qui entraine : $\sqrt{2}-6<0.$

Ce qui signifie que : $A$ est négatif.

Ainsi, $|A|=-A$

Donc,

$\begin{array}{rcl}\sqrt{B}&=&|A|\\\\&=&-A\\\\&=&-(\sqrt{2}-3)\\\\&=&-\sqrt{2}+3\end{array}$

D'où, $\boxed{\sqrt{B}=3-\sqrt{2}}$

Résolvons dans $\mathbb{R}$, l'équation :
$$(\sqrt{2}+1)x^{2}-5\sqrt{2}+1=0$$
On a :

$\begin{array}{rcl}(\sqrt{2}+1)x^{2}-5\sqrt{2}+1=0&\Leftrightarrow&(\sqrt{2}+1)x^{2}=-(-5\sqrt{2}+1)\\\\&\Leftrightarrow&(\sqrt{2}+1)x^{2}=5\sqrt{2}-1\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=\dfrac{5\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=B\\\\&\Leftrightarrow&\sqrt{x^{2}}=\sqrt{B}\\\\&\Leftrightarrow&|x|=\sqrt{B}\\\\&\Leftrightarrow&x=\sqrt{B}\ \text{ ou bien }\ x=-\sqrt{B}\\\\&\Leftrightarrow&x=3-\sqrt{2}\ \text{ ou bien }\ x=-(3-\sqrt{2})\\\\&\Leftrightarrow&x=3-\sqrt{2}\ \text{ ou bien }\ x=-3+\sqrt{2}\end{array}$

D'où, $\boxed{S=\left\lbrace 3-\sqrt{2}\;;\ -3+\sqrt{2}\right\rbrace}$