Corrigé Exercice 22 : Équations et inéquations du 1er degré à une inconnue 3e

 

On veut disposer un certain nombre de jetons en carré $($par exemple avec $9$ jetons on fait un carré de $3$ sur $3).$ En essayant de constituer un premier carré, on s'aperçoit qu'il reste $14$ jetons. On essaie alors de faire un deuxième carré en mettant un jeton de plus par côté. Il manque alors $11$ jetons.

 

Déterminons le nombre de jetons qu'il y avait au départ.

 

Soit $x$ le nombre avec lequel on fait le carré pour obtenir le nombre de jetons.

 

Alors,

 

$-\ $ en essayant de constituer un premier carré, on s'aperçoit qu'il reste $14$ jetons.

 

Cela se traduit par :

$$x^{2}+14=\text{Nombre de jetons}$$

$-\ $ on essaie de faire un deuxième carré en mettant un jeton de plus par côté. Il manque alors $11$ jetons.

 

Ce qui peut encore s'écrire :

$$(x+1)^{2}-11=\text{Nombre de jetons}$$

En comparant les deux égalités, on obtient :

$$(x+1)^{2}-11=x^{2}+14$$

En résolvant cette équation, on trouve :

 

$\begin{array}{rcl} (x+1)^{2}-11=x^{2}+14&\Leftrightarrow&x^{2}+2x+1-11=x^{2}+14\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}+2x-x^{2}=14+11-1\\\\&\Leftrightarrow&2x=24\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{24}{2}\\\\&\Leftrightarrow&x=12\end{array}$

 

Donc, $\boxed{x=12}$

 

Par suite, dans la première égalité, en remplaçant $x$ par $12$, on obtient le nombre de jetons.

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} \text{Nombre de jetons}&=&x^{2}+14\\\\&=&12^{2}+14\\\\&=&144+14\\\\&=&158\end{array}$

 

Ainsi, il y avait au départ $158$ jetons.