Corrigé Exercice 22 : Ensemble $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels 4e

 

On considère les encadrements suivants :

$$3.80<x<3.81\ \text{ et }\ 1.5<y<1.51$$

1) Donnons un encadrement de $3x+2y$ à $10^{-1}$ prés puis en déduisons sa valeur approchée par excès.

 

On commence par encadrer $3x$ en multipliant chaque membre de l'encadrement de $x$ par le même nombre $3.$

 

On obtient alors : $3\times 3.80<3\times x<3\times 3.81$

 

Ce qui donne : $11.4<3x<11.43$

 

Ensuite, on encadre $2y$ en multipliant chaque membre de l'encadrement de $y$ par le même nombre $2.$

 

On obtient alors : $2\times 1.5<2y<2\times 1.51$

 

Ce qui donne : $3<2y<3.02$

 

Ainsi, on a :

$$\begin{array}{rcccl} 11.4&<&3x&<&11.43\\3&<&2y&<&3.02\end{array}$$

Par suite, en additionnant membre à membre ces deux encadrements, on obtient :

$$\begin{array}{rcccl} 11.4&<&3x&<&11.43\\\\+\quad 3&<&2y&<&3.02\\\\\hline \\=\quad 14.4&<&3x+2y&<&14.45\end{array}$$

Ainsi, un encadrement de $3x+2y$ à $10^{-1}$ près est donné par :

$$\boxed{14.4<3x+2y<14.5}$$

Sa valeur approchée par excès est donc égale à $14.5$

 

2) Donnons un encadrement de $2x-3y$ à $10^{-2}$ prés.

 

On commence par encadrer $(-3y)$ en multipliant chaque membre de l'encadrement de $y$ par le même nombre $-3.$

 

On rappelle que les inégalités changent de sens lorsqu'on multiplie l'encadrement par un nombre négatif.

 

Comme $1.5<y<1.51$ alors, on a : $-3\times 1.51<-3\times y<-3\times 1.5$

 

Ce qui donne : $-4.53<-3y<-4.5$

 

Ensuite, on encadre $2x$ en multipliant chaque membre de l'encadrement de $x$ par le même nombre $2.$

 

On obtient alors : $2\times 3.80<2x<2\times 3.81$

 

Ce qui donne : $7.6<2x<7.62$

 

Ainsi, on a : 

$$\begin{array}{rcccl} 7.6&<&2x&<&7.62\\-4.53&<&-3y&<&-4.5\end{array}$$

Alors, en additionnant membre à membre ces deux encadrements, on obtient :

$$\begin{array}{rcccl} 7.6&<&2x&<&7.62\\\\-4.53&<&-3y&<&-4.5\\\\\hline \\=\quad 3.07&<&2x-3y&<&3.12\end{array}$$

D'où, un encadrement de $2x-3y$ à $10^{-2}$ prés est donné par :

$$\boxed{3.07<2x-3y<3.12}$$

3) Donnons un encadrement de $\dfrac{x}{y}$ à $10^{-1}$ prés.

 

On commence par encadrer $\dfrac{1}{y}$ en remplaçant chaque membre de l'encadrement de $y$ par son inverse tout en changeant le sens des inégalités.

 

Comme $1.5<y<1.51$ alors, on a : $\dfrac{1}{1.51}<\dfrac{1}{y}<\dfrac{1}{1.5}$

 

Ensuite, on multiplie membre à membre l'encadrement de $x$ par celui de $\dfrac{1}{y}.$

 

On obtient : $3.80\times\dfrac{1}{1.51}<x\times\dfrac{1}{y}<3.81\times\dfrac{1}{1.5}$

 

Ce qui donne : $\dfrac{3.80}{1.51}<\dfrac{x}{y}<\dfrac{3.81}{1.5}$

 

On trouve alors : $2.51<\dfrac{x}{y}<2.54$

 

Ainsi, un encadrement de $\dfrac{x}{y}$ à $10^{-1}$ prés est donné par :

$$\boxed{2.5<\dfrac{x}{y}<2.6}$$