Corrigé Exercice 22 : Multiples et diviseurs - 5e

 

1) Décomposons les nombres suivants en produits de facteurs premiers :

 

$$6\;;\ 9\;;\ 12\;;\ 14\;;\ 17\;;\ 19\;;\ 42\;;\ 50\;;\ 60\;;\ 63\;;\ 70\;;\ 76\;;\ 84\;;\ 91$$

 

On a : $\begin{array}{r|l} 6&2\\3&3\\1&\end{array}\quad$donc, $6=2\times 3$

 

Soit : $\begin{array}{r|l} 9&3\\3&3\\1&\end{array}\quad$alors, $9=3^{2}$

 

On a : $\begin{array}{r|l} 12&2\\6&2\\3&3\\1&\end{array}\quad$par suite, $12=2^{2}\times 3$

 

Soit : $\begin{array}{r|l} 14&2\\7&7\\1&\end{array}\quad$ainsi, $14=2\times 7$

 

On a : $\begin{array}{r|l} 17&17\\1&\end{array}\quad$donc, $17=17\times 1$

 

Soit : $\begin{array}{r|l} 19&19\\1&\end{array}\quad\text{alors, }19=19\times 1$

 

Soit : $\begin{array}{r|l} 42&2\\21&3\\7&7\\1&\end{array}\quad$on obtient alors : $42=2\times 3\times 7$

 

On a : $\begin{array}{r|l} 50&2\\25&5\\5&5\\1&\end{array}\quad$par suite,, $50=2\times 5^{2}$

 

Soit : $\begin{array}{r|l} 60&2\\30&2\\15&3\\5&5\\1&\end{array}\quad$ce qui donne : $60=2^{2}\times 3\times 5$

 

On a : $\begin{array}{r|l} 63&3\\21&3\\7&7\\1&\end{array}\quad$d'où, $63=3^{2}\times 7$

 

Soit : $\begin{array}{r|l} 70&2\\35&5\\7&7\\1&\end{array}\quad$ainsi, $70=2\times 5\times 7$

 

Soit : $\begin{array}{r|l} 76&2\\38&2\\19&19\\1&\end{array}\quad$ce qui donne : $76=2^{2}\times 19$

 

On a : $\begin{array}{r|l} 84&2\\42&2\\21&3\\7&7\\1&\end{array}\quad$par suite, $84=2^{2}\times 3\times 7$

 

Soit : $\begin{array}{r|l} 91&7\\13&13\\1&\end{array}\quad$ainsi, $91=7\times 13$

 

2) Écrivons chacun des produits suivants sous forme d'un produit de facteurs premiers.

 

Soit : $A=14\times 18$

 

On commence d'abord par décomposer $14\ $ et $\ 18$ en produits de facteurs premiers.

 

Ce qui donne : $\begin{array}{r|l} 14&2\\7&7\\1&\end{array}\qquad\begin{array}{r|l} 18&2\\9&3\\3&3\\1&\end{array}$

 

Par suite, $14=2\times 7\ $ et $\ 18=2\times 3^{2}$

 

Ensuite, dans l'écriture de $A$, on remplace $14\ $ et $\ 18$ par leurs produits de facteurs premiers :

 

$A=14\times 18=2\times 7\times 2\times 3^{2}$

 

Enfin, on utilise l'associativité de la multiplication pour regrouper les termes semblables.

 

$\begin{array}{rcl} 2\times 7\times 2\times 3^{2}&=&2\times 2\times 3^{2}\times 7\\ \\&=&2^{2}\times 3^{2}\times 7\end{array}$

 

D'où : $\boxed{A=2^{2}\times 3^{2}\times 7}$

 

Soit : $B=21\times 22\times 23$

 

On sait que $23$ est un nombre premier donc, pour écrire $B$ sous forme d'un produit de facteurs premiers il suffit de décomposer $21\ $ et $\ 22$ en produits de facteurs premiers.

 

Ainsi, $\begin{array}{r|l} 21&3\\7&7\\1&\end{array}\qquad\begin{array}{r|l} 22&2\\11&11\\1&\end{array}$

 

Donc, $21=3\times 7\ $ et $\ 22=2\times 11$

 

En remplaçant dans l'écriture de $B$, on obtient :

 

$B=21\times 22\times 23=3\times 7\times 2\times 11\times 23$

 

D'où, $\boxed{B=3\times 7\times 2\times 11\times 23}$

 

Soit : $C=10\times 11\times 12\times 13$

 

On sait que $11\ $ et $\ 13$ sont des nombres premiers donc, on va d'abord décomposer $10\ $ et $\ 12$ en produits de facteurs premiers.

 

Soit alors : $\begin{array}{r|l} 10&2\\5&5\\1&\end{array}\qquad\begin{array}{r|l} 12&2\\6&2\\3&3\\1&\end{array}$

 

Par suite, $10=2\times 5\ $ et $\ 12=2^{2}\times 3$

 

Ensuite, dans l'écriture de $C$, on remplace $10\ $ et $\ 12$ par leurs produits de facteurs premiers :

 

$C=10\times 11\times 12\times 13=2\times 5\times 11\times 2^{2}\times 3\times 13$

 

Enfin, on utilise l'associativité de la multiplication pour regrouper les termes semblables.

 

$\begin{array}{rcl} 2\times 5\times 11\times 2^{2}\times 3\times 13&=&2\times 2^{2}\times 3\times 5\times 11\times 13\\ \\&=&2^{3}\times 3\times 5\times 11\times 13\end{array}$

 

D'où : $\boxed{C=2^{3}\times 3\times 5\times 11\times 13}$

 

Soit : $D=81\times 121\times 169$

 

On commence par décomposer les nombres $81\;,\ 121\ $ et $\ 169$ en produits de facteurs premiers.

 

Alors, $\begin{array}{r|l} 81&3\\27&3\\9&3\\3&3\\1&\end{array}\qquad\begin{array}{r|l} 121&11\\11&11\\1&\end{array}\qquad\begin{array}{r|l} 169&13\\13&13\\1&\end{array}$

 

Donc, $81=3^{4}\;;\ \ 121=11^{2}\ $ et $\ 169=13^{2}$

 

Par suite, $D=81\times 121\times 169=3^{4}\times 11^{2}\times 13^{2}$

 

D'où : $\boxed{D=3^{4}\times 11^{2}\times 13^{2}}$