Corrigé Exercice 22 : Racine carrée 3e

 

1) Comparons en justifiant :
$$\dfrac{-2\sqrt{3}}{3}\ \text{ et }\ \dfrac{\sqrt{2}}{7}$$
On remarque que $\dfrac{-2\sqrt{3}}{3}<0\ $ et $\ \dfrac{\sqrt{2}}{7}>0.$

Or, on sait que tout nombre positif est supérieur à tout nombre négatif.

Donc, $\boxed{\dfrac{\sqrt{2}}{7}>\dfrac{-2\sqrt{3}}{3}}$
$$\sqrt{7}+4\ \text{ et }\ \sqrt{7}-1$$
En faisant la différence entre ces deux nombres, on trouve :

$\begin{array}{rcl} (\sqrt{7}+4)-(\sqrt{7}-1)&=&\sqrt{7}+4-\sqrt{7}+1\\\\&=&5\end{array}$

On constate que cette différence est un nombre positif.

Ce qui signifie que : $\boxed{\sqrt{7}+4>\sqrt{7}-1}$
$$2\sqrt{2}-1\ \text{ et }\ 3-\sqrt{2}$$
En faisant la différence entre ces deux nombres, on obtient :

$\begin{array}{rcl} (2\sqrt{2}-1)-(3-\sqrt{2})&=&2\sqrt{2}-1-3+\sqrt{2}\\\\&=&3\sqrt{2}-4\end{array}$

Donc, cette différence est égale à $3\sqrt{2}-4.$

Cherchons alors le signe de $3\sqrt{2}-4.$

On a : $4>0\ $ et $\ 3\sqrt{2}>0$

Alors, $(4)^{2}=16\ $ et $\ (3\sqrt{2})^{2}=18$

Comme $18$ est plus grand que $16$ alors, $3\sqrt{2}>4.$

D'où, $3\sqrt{2}-4>0$

Ce qui signifie que la différence $(2\sqrt{2}-1)-(3-\sqrt{2})$ est positive.

Par conséquent, $\boxed{2\sqrt{2}-1>3-\sqrt{2}}$
$$\sqrt{9+4\sqrt{5}}\ \text{ et }\ \sqrt{9-4\sqrt{5}}$$
Comme ces deux nombres sont positifs alors, comparons leur carré.

On a : $\left((\sqrt{9+4\sqrt{5}}\right)^{2}=9+4\sqrt{5}\ $ et $\ \left(\sqrt{9-4\sqrt{5}}\right)^{2}=9-4\sqrt{5}$

Alors, en faisant la différence entre les carrés de ces deux nombres, on obtient :

$\begin{array}{rcl} \left((\sqrt{9+4\sqrt{5}}\right)^{2}-\left(\sqrt{9-4\sqrt{5}}\right)^{2}&=&(9+4\sqrt{5})-(9-4\sqrt{5})\\\\&=&9+4\sqrt{5}-9+4\sqrt{5}\\\\&=&8\sqrt{5}\end{array}$

Donc, cette différence est égale à $8\sqrt{5}$ qui est un nombre positif.

Ce qui signifie que : $\left((\sqrt{9+4\sqrt{5}}\right)^{2}$ est plus grand que $\left(\sqrt{9-4\sqrt{5}}\right)^{2}$

D'où, $\boxed{\sqrt{9+4\sqrt{5}}>\sqrt{9-4\sqrt{5}}}$

2) Écrivons plus simplement :

Soit le nombre $\sqrt{2^{2}\times 4^{2}\times 3^{2}\times 5^{2}}$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl}\sqrt{2^{2}\times 4^{2}\times 3^{2}\times 5^{2}}&=&\sqrt{(2\times 4\times 3\times 5)^{2}}\\\\&=&2\times 4\times 3\times 5\\\\&=&120\end{array}$

D'où, $\boxed{\sqrt{2^{2}\times 4^{2}\times 3^{2}\times 5^{2}}=120}$

Soit le nombre $\sqrt{7^{2}\times 2^{2}\times 5^{3}\times 3^{8}}$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl}\sqrt{7^{2}\times 2^{2}\times 5^{3}\times 3^{8}}&=&\sqrt{7^{2}\times 2^{2}\times 5^{2}\times 5\times(3^{4})^{2}}\\\\&=&\sqrt{(7\times 2\times 5\times 3^{4})^{2}\times 5}\\\\&=&\sqrt{(7\times 2\times 5\times 3^{4})^{2}}\times\sqrt{5}\\\\&=&7\times 2\times 5\times 3^{4}\sqrt{5}\\\\&=&5\,670\sqrt{5}\end{array}$

Ainsi, $\boxed{\sqrt{7^{2}\times 2^{2}\times 5^{3}\times 3^{8}}=5\,670\sqrt{5}}$

Soit le nombre $\sqrt{36^{2}\times b^{5}\times c^{4}\times a^{-2}}$ avec $a>0\ $ et $\ b\geq 0$

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl}\sqrt{36^{2}\times b^{5}\times c^{4}\times a^{-2}}&=&\sqrt{36^{2}\times b^{4}\times b\times(c^{2})^{2}\times\dfrac{1}{ a^{2}}}\\\\&=&\sqrt{\dfrac{36^{2}\times(b^{2})^{2}\times b\times(c^{2})^{2}}{a^{2}}}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{(36\times b^{2}\times c^{2})^{2}\times b}}{\sqrt{a^{2}}}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{(36\times b^{2}\times c^{2})^{2}}\times\sqrt{b}}{|a|}\quad\text{or, }|a|=a\ \text{car }a>0\\\\&=&\dfrac{36\times b^{2}\times c^{2}\times\sqrt{b}}{a}\\\\&=&\dfrac{(6bc)^{2}\sqrt{b}}{a}\end{array}$

D'où, $\boxed{\sqrt{36^{2}\times b^{5}\times c^{4}\times a^{-2}}=\dfrac{(6bc)^{2}\sqrt{b}}{a}}$

Soit le nombre $\sqrt{4+\sqrt{29-\sqrt{14+\sqrt{3+\sqrt{1}}}}}$

Alors, en calculant de la droite vers la gauche, on obtient :

$\begin{array}{rcl}\sqrt{4+\sqrt{29-\sqrt{14+\sqrt{3+\sqrt{1}}}}}&=&\sqrt{4+\sqrt{29-\sqrt{14+\sqrt{3+1}}}}\\\\&=&\sqrt{4+\sqrt{29-\sqrt{14+\sqrt{4}}}}\\\\&=&\sqrt{4+\sqrt{29-\sqrt{14+2}}}\\\\&=&\sqrt{4+\sqrt{29-\sqrt{16}}}\\\\&=&\sqrt{4+\sqrt{29-4}}\\\\&=&\sqrt{4+\sqrt{25}}\\\\&=&\sqrt{4+5}\\\\&=&\sqrt{9}\\\\&=&3\end{array}$

Ainsi, $\boxed{\sqrt{4+\sqrt{29-\sqrt{14+\sqrt{3+\sqrt{1}}}}}=3}$

Soit le nombre $\dfrac{1}{4}\sqrt{13+\sqrt{\dfrac{15}{2}+3\sqrt{\dfrac{1}{4}}}}$

En calculant de la droite vers la gauche, on obtient :

$\begin{array}{rcl}\dfrac{1}{4}\sqrt{13+\sqrt{\dfrac{15}{2}+3\sqrt{\dfrac{1}{4}}}}&=&\dfrac{1}{4}\sqrt{13+\sqrt{\dfrac{15}{2}+3\times\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}}}\\\\&=&\dfrac{1}{4}\sqrt{13+\sqrt{\dfrac{15}{2}+3\times\dfrac{1}{2}}}\\\\&=&\dfrac{1}{4}\sqrt{13+\sqrt{\dfrac{15}{2}+\dfrac{3}{2}}}\\\\&=&\dfrac{1}{4}\sqrt{13+\sqrt{\dfrac{18}{2}}}\\\\&=&\dfrac{1}{4}\sqrt{13+\sqrt{9}}\\\\&=&\dfrac{1}{4}\sqrt{13+3}\\\\&=&\dfrac{1}{4}\sqrt{16}\\\\&=&\dfrac{1}{4}\times 4\\\\&=&\dfrac{4}{4}\\\\&=&1\end{array}$

D'où, $\boxed{\dfrac{1}{4}\sqrt{13+\sqrt{\dfrac{15}{2}+3\sqrt{\dfrac{1}{4}}}}=1}$