Corrigé Exercice 22 : Symétrie centrale 5e

 

1) Construisons un triangle $LOP$ rectangle en $O\ $ et $\ LP=6\;cm.$

 

2) Plaçons le point $M$ symétrique du point $O$ par rapport au point $I$ milieu du segment $[LP].$

 

3) Construisons le point $T$ symétrique du point $M$ par rapport au point $P.$

 

4) Les quadrilatères $LOPM\ $ et $\ LOTP$ sont des parallélogrammes. De plus $LOPM$ est un rectangle.

 

Justifions notre réponse.

 

On a :

 

$I$ milieu $[LP]\ $ et $\ M$ symétrique de $O$ par rapport à $I$ alors, $I$ est aussi milieu de $[OM].$

 

Donc, le quadrilatère $LOPM$ a ses diagonales $[LP]\ $ et $\ [OM]$ de même milieu $I.$

 

Or, on sait que : si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu, alors c'est un parallélogramme.

 

Par conséquent, le quadrilatère $LOPM$ est un parallélogramme.

 

On remarque par ailleurs, que le $LOPM$ a un angle droit en $O.$

 

Or, on sait que : si un parallélogramme a un angle droit alors, c'est un rectangle.

 

D'où, le quadrilatère $LOPM$ est un rectangle.

 

On a :

 

$LOPM$ est un  parallélogramme.

 

Or, on sait que : dans un parallélogramme, deux côtés opposés ont même longueur.

 

Donc, $LO=MP$

 

Comme $T$ est le symétrique du point $M$ par rapport au point $P$ alors, $P$ est milieu de $[MT]$ et on a : $MP=PT$

 

Ainsi : $LO=MP\ $ et $\ MP=PT$

 

Ce qui entraine alors : $LO=PT$

 

Par ailleurs, dans le parallélogramme $LOPM$, on a : $(MP)$ parallèle à $(LO).$

 

Comme, $M\;;\ P\ $ et $\ T$ sont alignés alors, les droites $(MP)\ $ et $\ (PT)$ sont confondues.

 

D'où, $(PT)$ parallèle à $(LO).$

 

Ainsi, dans le quadrilatère $LOTP$, on a : $LO=PT\ $ et $\ (PT)$ parallèle à $(LO).$

 

Or, on sait que : si un quadrilatère a deux côtés parallèles de même longueur alors, c'est un parallélogramme.

 

Par conséquent, $LOTP$ est un parallélogramme.

 

5) Construisons le cercle $(C)$ de centre $I$ et de rayon $IM.$ Calculons le périmètre et l'aire du disque correspondant.

 

$-\ $ Calcul du périmètre de $(C)$

 

On a :

$$\text{Périmètre du cercle}=\text{Diamètre}\times\pi$$

Or, le cercle $(C)$ a pour diamètre $LP=6\;cm.$

 

Donc, en choisissant $\pi=3.14$, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl}\text{Périmètre du cercle}&=&\text{Diamètre}\times\pi\\\\&=&6\times 3.14\\\\&=&18.84\end{array}$

 

D'où, $\boxed{\text{Périmètre du cercle}=18.84\;cm}$

 

$-\ $ Calcul de l'aire de $(C)$

 

On a :

$$\text{Aire du cercle}=\text{Rayon}^{2}\times\pi$$

Comme le cercle $(C)$ a pour diamètre $LP=6\;cm$ alors, son rayon sera donné par :

 

$\text{Rayon}=\dfrac{6}{2}=3\;cm$

 

Donc, en choisissant $\pi=3.14$, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl}\text{Aire du cercle}&=&\text{Rayon}^{2}\times\pi\\\\&=&3^{2}\times 3.14\\\\&=&9\times 3.14\\\\&=&28.26\end{array}$

 

D'où, $\boxed{\text{Aire du cercle}=28.26\;cm^{2}}$

 

6) Plaçons un point $E$ extérieur au cercle $(C).$ Construisons le cercle $(C')$ symétrique de $(C)$ par rapport à $E.$

 

Pour construire $(C')$, on construit d'abord le symétrique $I'$ du centre $I$ de $(C)$ par rapport à $E.$

 

Puis, on choisit le point $M$ appartenant au cercle $(C)$ et on construit son symétrique $M'$ par rapport à $E.$

 

Ensuite, on trace le cercle de centre $I'$ et passant par $M'.$ C'est le cercle $(C').$

 

7) La mesure du périmètre du cercle $(C')$ est égale à $18.84\;cm$

 

Justifions notre réponse.

 

En effet, on sait que : Le symétrique d'un cercle par rapport à un point est un cercle de même rayon.

 

Or, $(C')$ est le symétrique de $(C)$ par rapport à $E.$

 

Par conséquent, ces deux cercles ont même rayon et donc, le même périmètre.

 

D'où, $\boxed{\text{Périmètre de }(C')=\text{Périmètre de }(C)=18.84\;cm}$