Corrigé Exercice 22 : Théorème de Thalès - 3e

 

1) Construisons un triangle $ABC$ tel que :

$$AB=4.5\;cm\;,\ AC=5\;cm\ \text{ et }\ BC=6\;cm$$

2) Plaçons sur le segment $[BC]$ le point $P$ tel que $CP=3\;cm$ et sur le segment $[AC]$ le point $Q$ tel que $AQ=2.5\;cm.$

 

3) Démontrons que les droites $(PQ)\ $ et $\ (AB)$ sont parallèles.

 

On a : $C\;,\ P\;,\ B$ sont trois points alignés d'une part, et $C\;,\ Q\;,\ A$ sont trois points alignés d'autre part, dans le même ordre.

 

Calculons les rapports $\dfrac{CP}{BC}\ $ et $\ \dfrac{CQ}{AC}.$

 

On a :

 

$\dfrac{CP}{BC}=\dfrac{3}{6}=0.5$

 

$\dfrac{CQ}{AC}=\dfrac{AC-AQ}{AC}=\dfrac{5-2.5}{5}=\dfrac{2.5}{5}=0.5$

 

On constate alors que : $\dfrac{CP}{BC}=\dfrac{CQ}{AC}.$

 

Par conséquent, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(PQ)\ $ et $\ (AB)$ sont parallèles.

 

4) Plaçons le point $R$ sur le segment $[BC]$ tel que $CR=4.5\;cm.$

 

La parallèle à la droite $(AB)$ passant par $R$ coupe la droite $(AC)$ en $S.$

 

Calculons $CS\ $ et $\ RS.$

 

$-\ $ Calcul de $CS$

 

Les droites $(AB)\ $ et $\ (RS)$ étant parallèles alors, les triangles $ABC\ $ et $\ CRS$ sont en position de Thalès.

 

Ainsi, en utilisant le théorème de Thalès, on a :

 

$$\dfrac{CS}{AC}=\dfrac{CR}{BC}$$

 

Alors, en remplaçant $AC\;,\ CR\ $ et $\ BC$ par leur valeur, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl}\dfrac{CS}{5}=\dfrac{4.5}{6}&\Leftrightarrow&6\times CS=4.5\times 5\\\\&\Leftrightarrow&CS=\dfrac{22.5}{6}\\\\&\Leftrightarrow&CS=3.75\end{array}$

 

D'où, $\boxed{CS=3.75\;cm}$

 

$-\ $ Calcul de $RS$

 

En appliquant encore le théorème de Thalès, on a :

 

$$\dfrac{RS}{AB}=\dfrac{CR}{BC}$$

 

Donc, en remplaçant $AB\;,\ CR\ $ et $\ BC$ par leur valeur, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl}\dfrac{RS}{4.5}=\dfrac{4.5}{6}&\Leftrightarrow&6\times RS=4.5\times 4.5\\\\&\Leftrightarrow&RS=\dfrac{20.25}{6}\\\\&\Leftrightarrow&RS=3.375\end{array}$

 

D'où, $\boxed{RS=3.375\;cm}$