Corrigé Exercice 23 : Distances - 4e

 

1) Traçons un cercle $(\mathcal{C})$ de centre $O$ et de rayon $3\;cm.$

 

2) Marquons deux points $A\ $ et $\ B$ sur le cercle non diamétralement opposés.

 

3) Traçons la droite $(\mathcal{D})$ perpendiculaire à $(AB)$ et passant par $O.$

 

Elle coupe $(\mathcal{C})$ en $L\ $ et $\ K$

4) a) Montrons que $(\mathcal{D})$ est la médiatrice de $[AB].$

 

En effet, on sait que la médiatrice d'un segment est la droite passant par le milieu de celui-ci et qui lui est perpendiculaire.

 

Or, on a : $(\mathcal{D})$ perpendiculaire à $(AB)$ au point $I.$

 

De plus, $[LK]$ est un diamètre de $(\mathcal{C}).$ Donc, c'est un axe de symétrie de ce cercle.

 

Ainsi, les points $A\ $ et $\ B$ sont symétriques par rapport à $(\mathcal{D}).$

 

Par suite, $AI=IB$ et alors, $I$ est milieu de $[AB].$

 

Donc, $(\mathcal{D})$ passe par le milieu $I$ de $[AB]$ et $(\mathcal{D})$ est  perpendiculaire à $(AB).$

 

Par conséquent, $(\mathcal{D})$ est la médiatrice de $[AB].$

 

4) b) Déduisons-en que $LA=LB.$

 

On a : $(\mathcal{D})$ médiatrice de $[AB]\ $ et $\ L\in(\mathcal{D}).$

 

Or, on sait que tout point de la médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités de ce segment.

 

Donc, le point $L$ appartenant à $(\mathcal{D})$ ; médiatrice de $[AB]$, est équidistant des points $A\ $ et $\ B.$

 

D'où, $$LA=LB$$